Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида , где m и n – натуральные числа.

(a) Среди показателей степеней n и m есть хотя бы одно нечетное число. В этом случае используем прием подведения множителя под знак дифференциала.

Пример 7.11.

(b) Оба показателя степени n и m – четные числа. В этом случае применяем тригонометрические формулы понижения степени:

.

Пример 7.12.

.

2. Интегралы вида

В данном случае, применяя известные тригонометрические тождества

,

, ,

можно интеграл от произведения двух тригонометрических функций свести к интегрированию суммы двух тригонометрических функций.

Пример 7.13.

.

3. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегралы вида , где рациональная функция от sin x и cos x, можно свести к интегралам от частного двух многочленов. Это можно сделать при помощи так называемой универсальной тригонометрической подстановки: . При этом

, ,

.

Пример 7.14.

Мы воспользовались табличной формулой 11.

Глава 8. Определенный интеграл.

Несобственные интегралы

§8.1. Задача о площади криволинейной трапеции.

Определение определенного интеграла

Предположим, нам требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f (x), где f (x) – некоторая непрерывная неотрицательная на отрезке [ a; b ] функция (рис. 8.1).

Разобьем отрезок [ a; b ] точками на n частей. Выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку . При этом криволинейная трапеция вертикальными прямыми разбивается на n полос, каждую из которых условно можно считать прямоугольником. Длина основания i -го прямоугольника равна D x_i = x_i – x_{i – 1}, а за высоту приближенно можно принять значение функции y = f (x) в точке a_i . Таким образом, площадь i -й полосы приближенно равна . Площадь всей криволинейной трапеции складывается из площадей составляющих ее полос:

. (8.1)

Равенство (8.1) тем точнее выражает площадь криволинейной трапеции, чем каждая из составляющих ее полос больше напоминает прямоугольник, то есть, чем меньше каждое D x_i.

Дадим теперь определение определенного интеграла. Пусть f (x) – произвольная функция, определенная на отрезке [ a; b ] (см. рис. 8.1). Разобьем отрезок [ a; b ] точками на n частей и выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку . В полученных точках вычислим значения функции и вычислим сумму (данная сумма называется интегральной).

2 Предел интегральной суммы при , если он существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [ a; b ] на части, и от выбора точек , называется определенным интегралом от функции f (x) на промежутке [ a; b ] и обозначается . Таким образом,

. (8.2)

Замечание. Условие означает, что длина каждого из отрезков стремится к нулю, а это возможно лишь тогда, когда число разбиений стремится к бесконечности (n ® ¥). Обратное утверждение не верно. При n ® ¥ могут остаться отрезки , длины которых не стремятся к нулю. Таким образом, в определении определенного интеграла условие нельзя заменить условием n ® ¥.

1 Для любой непрерывной на промежутке [ a; b ] функции f (x) существует определенный интеграл .

1 Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, x = a, x = b, y = f (x), где f (x) – некоторая непрерывная неотрицательная функция равна:

. (8.3)
В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

§8.2. Свойства определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница

Перечислим без доказательства основные свойства определенного интеграла от непрерывной на отрезке [ a; b ] функции f (x).

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

. (8.4)

2. Определенный интеграл от суммы двух (или нескольких) функций равен сумме интегралов от этих функций:

. (8.5)

3. Пусть с – произвольная точка из промежутка [ a; b ], тогда:

. (8.6)

4. При изменении порядка интегрирования, определенный интеграл меняет знак на противоположный:

. (8.7)

5. Теорема о среднем значении. Внутри интервала (a; b) существует такая точка с, что

. (8.8)

6. Оценка определенного интеграла

. (8.9)
При доказательстве этих и других свойств используется определение определенного интеграла (формула (8.2)), однако, при решении практических задач пользоваться определением определенного интеграла крайне затруднительно. Обычно в таких случаях применяется формула Ньютона-Лейбница в сочетании со свойствами определенного интеграла, или приближенные методы.

1 Если функция интегрируема на промежутке [ a, b ], то она на
[ a, b ] имеет непрерывную первообразную. Это, в частности, справедливо когда f (x) непрерывна.

1 Формула Ньютона-Лейбница:

. (8.10)

Здесь через F (x) обозначена первообразная функции f (x) на промежутке [ a; b ].

Задача 8.1. Вычислить определенный интеграл: .

Решение.

.

При вычислении данного интеграла, мы воспользовались 1-м и 2-м свойствами определенного интеграла и формулой Ньютона-Лейбница.

Задача 8.2. Вычислить определенный интеграл: .

Решение. Умножим и разделим подынтегральную функцию на ln10 и внесем множитель под знак дифференциала:

.

§8.3. Замена переменной и интегрирование по частям
под знаком определенного интеграла

Замену переменной под знаком определенного интеграла в отличие от замены переменной под знаком неопределенного интеграла осуществляют, учитывая два обстоятельства:

1. В ходе замены переменной необходимо изменить пределы интегрирования. Так, если старыми пределами интегрирования являлись числа x ₁ и x ₂, и мы осуществили подстановку , то новыми пределами интегрирования будут числа .

2. После нахождения первообразной нет необходимости возвращаться к старой переменной x, нужно лишь в соответствие с формулой Ньютона-Лейбница подставить в нее новые пределы интегрирования t ₁ и t ₂:

.

Задача 8.3. Вычислить определенный интеграл: .

Решение.

.

1 Формула интегрирования по частям в случае определенного интеграла имеет вид:

. (8.11)
Задача 8.4. Вычислить интеграл: .

Решение.

§8.4. Приложения определенных интегралов

1. Вычисление площадей плоских фигур

g Площадь фигуры, ограниченной линиями x = a, x = b, y = f ₁(x), y = f ₂(x), где f ₁(x) и f ₂(x) – некоторые непрерывные на отрезке [ a; b ] функции, причем (рис. 8.2), можно найти по формуле

. (8.12)
4 Без ограничения общности, можно считать, что . В противном случае обе функции можно увеличить на одну и ту же константу (при этом графики обеих функций сместятся вверх) такую, что новые функции окажутся неотрицательными.

Из рисунка 8.2 видно, что искомая площадь равна разности площадей двух криволинейных трапеций . Каждую из площадей S ₁ и S ₂ можно найти по формуле (8.3). Следовательно

. 3

Задача 8.5. Вычислить площадь земельного участка, ограниченного линиями .

Решение. Построим данные линии в декартовой системе координат (рис. 8.3). Земельный участок изображен заштрихованным. Найдем точку А пересечения параболы с прямой y = x – 1. Для этого решим систему:

.

Таким образом,

Искомую площадь найдем по формуле (8.12):

g Пусть криволинейная трапеция (рис. 8.1) сверху ограничена графиком функции, заданной параметрически на некотором отрезке [ t ₁; t ₂], причем функция y (t) является непрерывной, а функция x (t) – непрерывно-дифференцируемой на данном отрезке. Тогда площадь S криволинейной трапеции находится по формуле:

. (8.13)

4Формула (8.13) получена из формулы (8.3), если в последней произвести замену переменной:

.

Новые пределы интегрирования t ₁ и t ₂ находятся из систем , . Они соответствуют началу и концу дуги, соответственно.3

Задача 8.6. Вычислить площадь, ограниченную первой аркой циклоиды
.

Решение. Построим первую арку циклоиды по точкам:

	t
	x		0.57 a	3.14 a	5.71 a	6.28 a
	y		a	2 a	a

Таким образом, началу арки (точке А) соответствует значение параметра t ₁ = 0, вершине (точке В) – значение t ₂ = p, и концу (точке С) – значение t ₃ = 2 p. Площадь всей арки циклоиды можно найти, вычислив площадь половины арки S ₁ (рис. 8.4). По формуле 8.13 получим

.

2. Вычисление длины дуги плоской кривой

1 Предположим, что на плоскости некоторая дуга (кривая линия) является графиком непрерывно-дифференцируемой функции y = f (x) на отрезке
[ a; b ] (рис. 8.1). В этом случае длину l дуги можно вычислить по формуле:

. (8.14)
1 Предположим, что дуга (рис. 8.1) является графиком функции, заданной параметрически на некотором отрезке [ t ₁; t ₂], причем функции y (t) и x (t) непрерывно-дифференцируемы на данном отрезке. Тогда длину l дуги можно вычислить по формуле:

. (8.15)

Задача 8.7. Вычислить длину дуги полукубической параболы на промежутке [0; 1] (рис. 8.5).

Решение. Полукубическая парабола состоит из двух симметричных относительно оси OX ветвей . Искомая длина l равна сумме длин дуг (l ₁) и (l ₂). Так как длины дуг и совпадают, то l =2 l ₁.

Таким образом, по формуле (8.14) мы получим:

.

Задача 8.8. Вычислить длину астроиды
(рис. 8.6).

Решение. Астроиду, так же как и циклоиду (задача 8.6) можно построить по точкам (в качестве упражнения сделайте это самостоятельно). Астроида состоит из четырех равных по длине частей. Найдем длину дуги астроиды, расположенной в первой четверти, и умножим ее на четыре. Началу дуги (точке N) соответствует значение параметра , концу дуги (точке M) соответствует значение параметра .

Таким образом, по формуле (8.15) находим длину астроиды:

.

3. Вычисление объема тела с известным поперечным сечением.

Предположим, что проекцией некоторого тела на ось OX является отрезок [ a; b ] (рис. 8.7). Предположим, что в каждой точке x отрезка [ a; b ] нам известна площадь S (x) поперечного сечения данного тела. Разобьем отрезок [ a; b ] точками на n частей и проведем в каждой из полученных точек плоскость, перпендикулярную оси OX. При достаточно большом числе разбиений отрезка
[ a; b ], тело разрезается на большое количество частей (слоев), каждую из которых приближенно можно считать цилиндром. Высота i -го слоя (цилиндра) равна D x_i = x_i – x_{i – 1}.

За площадь основания i -го цилиндра примем , где – произвольная точка i -го отрезка. Тогда объем i -го слоя приближенно равен , следовательно, объем тела равен

. (8.16)

Но сумма в формуле (8.16) является интегральной суммой для определенного интеграла . Таким образом, если функция S (x) является непрерывной на отрезке [ a; b ], то объем тела с известным поперечным сечением S (x) равен

. (8.17)

4. Вычисление объема тела вращения

Предположим, что на промежутке
[ a; b ] определена непрерывная функция
y = f (x). Найдем объем тела, которое получается при вращении графика данной функции вокруг оси OX на данном промежутке. Любое сечение данного тела плоскостью, перпендикулярной оси OX, является кругом (рис. 8.8). Радиус круга в произвольной точке x Î[ a; b ] равен значению функции f (x) в этой точке. Следовательно, площадь круга равна . Подставляя S (x) в формулу (8.17), мы получим формулу объема тела вращения:

. (8.18)

Задача 8.9. Вычислить объем веретена (рис. 8.9), полученного при вращении вокруг оси OX участка синусоиды, расположенного на промежутке [0; p ].

Решение. Искомый объем тела вращения найдем по формуле (8.18):