В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:
(10.2)
2 Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (10.2), удовлетворяющего некоторому начальному условию, называют задачей Коши:
(10.3)
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка.
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
2 Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида
. (10.4)
Общее решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными находят с помощью метода, который так и называется «метод разделения переменных»:
1. В уравнении (10.4) производную представим, как частное дифференциалов .
2. Умножим обе части полученного уравнения на dx и разделим на g(y):
(переменные разделились).
3. Интегрируя обе части полученного уравнения, находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения .
Замечание. Если , то также будет интегралом уравнения (10.4), который может быть потерян при разделении переменных. В дальнейшем исследование таких интегралов опускается.
|
|
Пример 10.2. Найти общее решение дифференциального уравнения: .
Очевидно, что данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим:
.
Таким образом, мы находим общий интеграл дифференциального уравнения: , или .
Замечание. Если , то y = y 1 также будет интегралом (решением) уравнения (10.4), который может быть потерян при разделении переменных. В дальнейшем исследование таких интегралов опускается.
2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка
2 Дифференциальные уравнения первого порядка называются однородными, если является однородной функцией. Т.е. , для любого .
Если – однородное дифференциальное уравнение первого порядка, то оно с помощью замены сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. При этом .
Задача 10.3. Решить задачу Коши:
Решение. Преобразуем данное дифференциальное уравнение к виду . Для этого разделим обе его части на dx:
, или . Подставляя lx вместо x и ly вместо y в правую часть полученного уравнения, мы убеждаемся в том, что оно является однородным:
.
Произведем замену переменной , . При этом наше дифференциальное уравнение примет вид:
. Откуда , или . Полученное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение:
.
Откуда . Производя обратную замену , мы получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения: , или . Найдем такое значение константы С, при котором общий интеграл дифференциального уравнения удовлетворяет начальному условию . Для этого подставим в общее решение: . Откуда .
|
|
Подставляя найденную константу С в общий интеграл мы получим искомое решение исходной задачи Коши:
.
3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
2 Дифференциальные уравнения вида
, (10.5)
где – функции, зависящие только от переменной x, называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения обычно решают при помощи замены переменных:
, (10.6)
причем при такой замене, обе неизвестные функции находятся как решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
Задача 10.4. Решить задачу Коши:
Решение. 1) Найдем общее решение дифференциального уравнения. Данное уравнение первого порядка является линейным. Следовательно, произведем следующую замену переменной:
, . Тогда
или .
Подберем теперь такую функцию v (x), чтобы v ¢+2 xv =0. То есть v (x) будем искать как частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:
При С = 0 получим: ln| v | = – x 2. Следовательно, .
При таком выборе функции v (x) исходное дифференциальное уравнение примет вид:
Следовательно, Таким образом,
2) Для решения задачи Коши воспользуемся начальным условием y (0)=0.
Тогда и, следовательно, .