Дифференциальные уравнения первого порядка

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

(10.2)

2 Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения (10.2), удовлетворяющего некоторому начальному условию, называют задачей Коши:

(10.3)

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

2 Дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения вида

. (10.4)

Общее решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными находят с помощью метода, который так и называется «метод разделения переменных»:

1. В уравнении (10.4) производную представим, как частное дифференциалов .

2. Умножим обе части полученного уравнения на dx и разделим на g(y):
(переменные разделились).

3. Интегрируя обе части полученного уравнения, находим общий интеграл исходного дифференциального уравнения .

Замечание. Если , то также будет интегралом уравнения (10.4), который может быть потерян при разделении переменных. В дальнейшем исследование таких интегралов опускается.

Пример 10.2. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Очевидно, что данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим:

.

Таким образом, мы находим общий интеграл дифференциального уравнения: , или .

Замечание. Если , то y = y ₁ также будет интегралом (решением) уравнения (10.4), который может быть потерян при разделении переменных. В дальнейшем исследование таких интегралов опускается.

2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

2 Дифференциальные уравнения первого порядка называются однородными, если является однородной функцией. Т.е. , для любого .

Если – однородное дифференциальное уравнение первого порядка, то оно с помощью замены сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. При этом .

Задача 10.3. Решить задачу Коши:

Решение. Преобразуем данное дифференциальное уравнение к виду . Для этого разделим обе его части на dx:

, или . Подставляя lx вместо x и ly вместо y в правую часть полученного уравнения, мы убеждаемся в том, что оно является однородным:

.

Произведем замену переменной , . При этом наше дифференциальное уравнение примет вид:

. Откуда , или . Полученное дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение:

.

Откуда . Производя обратную замену , мы получим общий интеграл исходного дифференциального уравнения: , или . Найдем такое значение константы С, при котором общий интеграл дифференциального уравнения удовлетворяет начальному условию . Для этого подставим в общее решение: . Откуда .

Подставляя найденную константу С в общий интеграл мы получим искомое решение исходной задачи Коши:

.

3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

2 Дифференциальные уравнения вида

, (10.5)

где – функции, зависящие только от переменной x, называются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Линейные дифференциальные уравнения обычно решают при помощи замены переменных:

, (10.6)

причем при такой замене, обе неизвестные функции находятся как решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Задача 10.4. Решить задачу Коши:

Решение. 1) Найдем общее решение дифференциального уравнения. Данное уравнение первого порядка является линейным. Следовательно, произведем следующую замену переменной:

, . Тогда

или .

Подберем теперь такую функцию v (x), чтобы v ¢+2 xv =0. То есть v (x) будем искать как частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

При С = 0 получим: ln| v | = – x ². Следовательно, .

При таком выборе функции v (x) исходное дифференциальное уравнение примет вид:

Следовательно, Таким образом,

2) Для решения задачи Коши воспользуемся начальным условием y (0)=0.
Тогда и, следовательно, .