Распределение Пуассона

Это распределение представляет собой предельный случай биномиального, когда вероятность р очень мала, а число испытаний n велико.

Таким образом, им можно пользоваться при описании частот распределения редких событий, таких, например, как случай обширных наводнений на протяжении долгого периода времени наблюдений.

Дискретная случайная величина Х, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностями

, (12.8)
где k – число появления событий в n независимых испытаниях, l = n·p (среднее число появлений события в n испытаниях), называется распределенной по закону Пуассона с параметром l.

В отличие от биномиального распределения здесь случайная величина может принимать бесконечное множество значений, представляющее собой бесконечную последовательность целых чисел 0, 1, 2, 3, ….

Закон Пуассона описывает число событий k, происходящих за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, которая характеризуется параметром l = n·p. Так как для распределения Пуассона вероятность р появления события в каждом испытании мала, то это распределение называют законом распределения редких явлений.

Распределение Пуассона представляет собой грубую модель частоты встречаемости катастрофических наводнений при довольно длительном периоде наблюдений, хотя в этом случае нет полной уверенности в независимости событий.

Распределение микроэлементов в образце почвы может также приближаться к пуассоновскому.

Предположим, что для серии образцов мы сосчитали количество содержащихся в них микроэлементов, и оказалось, что на один образец приходится в среднем 2,1 грана определенного микроэлемента (1 гран = 0,06479891 г). Используя (12.8), получаем, например:

,

,

.

Основанием считать статистическое распределение пуассоновским является близость значений статистических характеристик и S² (которые являются статистическими приближениями математического ожидания и дисперсии), так как для теоретического распределения Пуассона имеет место:

М(Х) = D(X) = l.