Примеры выполнения заданий типового расчета

Задание 1.Указать особенности в расположении прямых на плоскости (прямая общего положения, проходящая или не проходящая через начало координат; прямая, параллельная оси Ох или Оу): 1) 2) 3) Сделать чертеж каждой прямой в системе координат

Решение.

1) Уравнение приведем к виду: – получили уравнение вида (см. подразд. 1.7, п. б), значит, данная прямая параллельна оси Оу и проходит через точку с координатами (рис. 8).

2) Элементарными преобразованиями уравнение приведем к виду: – получили уравнение вида (см. разд. 1.7, п. а), значит, данная прямая проходит через начало координат Положив из данного по условию уравнения найдем , значит, данная прямая проходит через точку М с координатами Далее строим прямую, проходящую через точки О и М (рис. 9).

3) Уравнение приведем к виду: – получили уравнение вида (см. подразд. 1.7, п. в), значит, данная прямая параллельна оси Ох и проходит через точку К с координатами (0; 5,5) (рис. 10).

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Задание 2.Выбрать из имеющегося списка прямых на плоскости пары: пересекающихся прямых; совпадающих прямых; прямых, не имеющих общих

точек:

1) 2) 3) 4) 5)

Решение. Для того чтобы применить условия параллельности или пересечения прямых (см. разд. 2, утверждение 2), заданные уравнения перепишем в общем виде. Затем, выписав соотношения между соответствующими коэффициентами, получим:

пересекающиеся прямые: 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 1 и 5, 2 и 4, 3 и 4, 4 и 5;

совпадающие прямые: 2 и 5;

прямые, не имеющие общих точек, – 2 и 3.

Задание 3.Две точки на плоскости заданы координатами: и 135º – некоторый угол. Составить:

1) уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы;

2) уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью абсцисс угол .

Решение.

1) Одним из направляющих векторов прямой является вектор Запишем уравнение прямой в виде: т. е. (см. подразд. 1.4). Чтобы записать уравнение в общем виде, воспользуемся свойством пропорции и получим: т. е. Для того чтобы найти направляющие косинусы прямой, необходимо нормировать ее направляющий вектор. Таким образом, направляющие косинусы могут быть вычислены по формулам: и отсюда следует, что косинус угла, образованного данной прямой с положительным направлением оси абсцисс, равен а косинус угла, образованного данной прямой с положительным направлением оси ординат, равен

2) Воспользуемся уравнением прямой «с угловым коэффициентом» где tg tg 135º Подставив полученное значение коэффициента k и координаты точки в уравнение получим: отсюда Итак, требуемое уравнение имеет вид:

Задание 4.Дано общее уравнение прямой: записать для нее следующие виды уравнений:

1) каноническое

2) параметрические

3) «с угловым коэффициентом»

4) «в отрезках»

5) нормальное

Построить заданную прямую в системе координат хОу.

Решение. Сначала перейдем от общего уравнения прямой к уравнению «с угловым коэффициентом»: ; ; .

Используя последнее из уравнений, найдем координаты некоторой точки принадлежащей заданной прямой. Положив получим: Таким образом, точка имеет координаты Роль направляющего вектора прямой может играть любой ненулевой вектор, перпендикулярный нормальному вектору данной прямой. Из общего уравнения прямой найдем, что ее нормальный вектор отсюда направляющий вектор может быть найден из условия: поэтому в качестве направляющего вектора выберем: Теперь запишем каноническое уравнение данной прямой:

Для записи параметрических уравнений прямой введем параметр: отсюда т. е.

Нормальное уравнение прямой легко получить из общего уравнения, умножив его на соответствующий нормирующий множитель В рассматриваемом случае тогда (напомним, что знак при вычислении нормирующего множителя должен быть противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой). Таким образом, нормальное уравнение прямой имеет вид:

Рис. 11

Построение прямой удобнее проводить, если прямая задана уравнением «в отрезках». Для его получения общее уравнение прямой перепишем в виде: и разделим его на : где Отсекая на координатных осях соответствующие отрезки, построим данную прямую (рис. 11).

З а д а н и е 5.Даны прямые и точка Составить уравнения прямых, проходящих: 1) через точку М параллельно прямой l; 2) через точку М перпендикулярно прямой l. Найти угол между прямыми и и расстояние d от точки М до прямой l.

Решение. Составим уравнение прямой, проходящей через точку М параллельно прямой l. Для этого перейдем от общего уравнения прямой l к ее уравнению «с угловым коэффициентом»: отсюда У параллельных прямых угловые коэффициенты равны между собой. Затем из пучка прямых проходящих через точку выберем такую, у которой Итак, получим искомое уравнение: т. е.

Угловые коэффициенты и перпендикулярных прямых удовлетворяют соотношению: поэтому из пучка прямых проходящих через точку выберем такую, для которой Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой l, имеет вид: т. е.

Теперь найдем угол между прямыми и . Запишем уравнение прямой «с угловым коэффициентом»: отсюда tg arctg Расстояние d от точки до прямой вычислим по формуле: , т. е.

.