Определение производственной программы, позволяющей получить наилучший результат

Пусть нормы трудоемкости изготовления трех изделий имеют значения:

= 0,2 (чел.-час); = 0,8 (чел.-час); = 0,4 (чел.-час),

а нормы металлоемкости тех же изделий – значения:

= 5 (кг); = 0,8 (кг); = 2 (кг).

Суммарная трудоемкость производственной программы определяется величиной

= 8800 (чел.-час),

а суммарная металлоемкость –

= 28000 (кг).

Изделия отпускаются с предприятия по ценам за штуку:

= 3000 (руб); = 2400 (руб); = 2600 (руб).

Задача оптимизации производственной программы предприятия может быть сформулирована следующим образом: указать производственную программу (распределение объемов производства изделий) ( ), при выполнении которой достигается наибольшее значение дохода предприятия:

y = 3000 + 2400 + 2600 ;

0,2 + 0,8 + 0,4 = 8800;

5 + 0,8 + 2 = 28000;

0, 0, 0.

В пространстве переменных ( ) первое из ограничений (по трудоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:

( = 8800/0,2 = 44000, = 0, = 0) ;

( = 0, = 8800/0,8 = 11000, = 0) ;

( = 0, = 0, = 8800/0,4 = 22000) .

Графическое изображение этой плоскости приведено на рис. 1.

Второе ограничение (по металлоемкости) определяет плоскость , проходящую через точки:

( = 28000/5 = 5600, = 0, = 0) ;

( = 0, = 28000/0,8 = 35000, = 0) ;

( = 0, = 0, = 28000/2 = 14000) .

Плоскость также изображена на рис. 1.

Из графического изображения плоскостей-ограничений вытекает следующее:

- линия пересечения плоскостей-ограничений существует и пересекает координатные плоскости = 0, = 0, = 0 в точках соответственно. Ограничения трудоемкости и металлоемкости линейно независимы;

- условия 0, 0, 0 определяют отрезок линии пересечения, лежащей между координатными плоскостями = 0, X₃ = 0, а конец этого отрезка суть точки и . Следовательно, оптимальная производственная программа существует (ограничения по трудоемкости и металлоемкости сбалансированы) и реализуется либо в точке , либо в точке X³;

- точка X² содержит отрицательную вторую компоненту и производственной программой служить не может.

Рис.1. Графическое изображение плоскостей-ограничений в контрольном примере

Находим координаты точки = ( ) решая систему уравнений:

0,8 + 0,4 = 8800,

0.8 + 2 = 28000.

Получаем: = 0;

= (8800*2 – 0,4*28000)/(0,8*2 – 0,4*0,8) = 5000;

= (0,8*28000 – 8800*0,8)/(0,8*2 – 0,4*0,8) = 12000.

Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :

= 2400*5000 + 2600*12000 = 43200000.

Находим координаты точки = ( ), решая систему уравнений:

0,2 + 0,4 = 8800,

5 + 2 = 28000.

Получаем:

= (8800*2 – 0,4*28000)/(0,2*2 – 0,4*5) = -4000;

= 0;

= (0,2*28000 – 8800*5)/(0,2*2 – 0,4*5) = 23750.

Значение первой компоненты отрицательное, что ранее было замечено (см. рис. 1). В этом случае значение целевой функции можно вычислить:

2600*23750 – 3000*4000 = 49750000,

но согласно алгоритму решения задачи мы полагаем доход предприятия равным нулю, = 0.

При вычислении координат точки = ( ) путем решения системы уравнений

0,2 + 0,8 = 8800,

5 + 0,8 = 28000,

получаем:

= (8800*0,8 – 0,8*28000)/(0,2*0,8 – 0,8*5) = 4000;

= (0,2*28000 – 8800*5)/(0,2*0,8 – 0,8*5) = 10000;

= 0.

Поскольку оба найденных решения неотрицательны и могут определять объемы производства, вычисляем значение целевой функции в точке :

= 3000*4000 + 2400*10000 = 36000000.

Расположим полученные значения целевой функции в порядке возрастания:

0 = < = 36000000 < = 43200000.

Можно видеть, что оптимальной является первая производственная программа, соответствующая наибольшему значению целевой функции.

Приходим к выводу:

- изделия первого типа не следует включать в оптимальную производственную программу предприятия –

= 0;

- объем производства изделий второго типа запланировать в количестве

= 5000 (шт.);

- объем производства изделий третьего типа запланировать в количестве

= 12000 (шт.).

При этом предприятие получит наибольший возможный доход:

= 2400*5000 + 2600*12000 = 43200000 (руб)., т.е. 43.2 млн.руб.

Результаты расчетов представим в виде таблицы 1.

Таблица 1

Оптимальная производственная программа предприятия

Тип изделия
Объем производства, шт.
Доход предприятия, руб.