2015-04-17
939
Необходимое условие устойчивости не является достаточным для систем, описываемых уравнениями выше 2-го порядка. Поэтому остается задача отыскания дополнительных условий, накладываемых на коэффициенты характеристического уравнения, соблюдение которых дает право утверждать, что система устойчива.
Эта задача была решена Раусом и Гурвицом практически одновременно. Отсюда правило (критерий) суждения об устойчивости систем было названо критерием Рауса-Гурвица.
По критерию Рауса-Гурвица необходимым и достаточным условием устойчивости системы, описываемой уравнением (21.5) является положительность всех определителей Гурвица 
при 
, где
(21.13)
Если хотя бы один из определителей равен нулю, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.
Правило составления определителя Гурвица 
:
1. По главной диагонали выписываются последовательно по возрастающим индексам все коэффициенты по порядку от 
, начиная с верхнего левого угла до правого нижнего.
2. Вверх от элементов определителя, лежащих на главной диагонали, выписываются коэффициенты характеристического уравнения в порядке возрастания их индексов, а вниз – в порядке убывания индексов.
3. На местах, где должны быть вписаны коэффициенты с индексами больше чем n и меньше чем нуль, подставляются нули.
Определители 
получаются из вычеркиванием справа и снизу последовательно по одному столбцу и одной строке, по два столбца и две строки и т.д.
Можно также показать, что для исследования устойчивости нет необходимости иметь дело со всеми определителями Гурвица. Так, например, в случае положительности коэффициентов, для системы третьего порядка достаточно определить знак определителя 
: для системы четвертого порядка – знаки определителей 
и т.д.
Приведем условия устойчивости для систем с характеристическим уравнениями второй, третьей и четвертой степеней:
для n =2 
для n =3 
для n =4 
; 
Для n =2 условие устойчивости сводится к положительности коэффициентов характеристического уравнения, в то время как для n =3 и
n =4 этого недостаточно и коэффициенты должны удовлетворять ещё дополнительным неравенствам. Важно отметить, что приведенные неравенства однозначно определяют, какими могут быть соотношения между коэффициентами характеристического уравнения, чтобы система была устойчивой.
