2015-04-17
2523
Исследование устойчивости любой системы связано с исследованием ее траектории- решении однородного дифференциального уравнения:
. (21.5)
при начальных условиях: 
Известно, что для нахождения x(t) необходимо сначала определить корни 
характеристического уравнения:
. (21.6)
Напомним, что это уравнение может быть получено из передаточной функции системы, приравнивая ее знаменатель к нулю.
В общем случае решение уравнения (21.5) имеет вид:
, (21.7)
где 
- постоянные, определяемыми начальными условиями;
- число пар комплексно-сопряженных корней 
. s - число вещественных корней 
;
Что нужно для того, чтобы система была асимптотически устойчива, т.е., чтобы выполнялось условие:
. (21.8)
Как уже было установлено, устойчивость-качество системы, зависящее от их собственных свойств (параметров) системы. В свою очередь, параметры систем находят отражение в коэффициентах дифференциального уравнения (21.5) и соответственно характеристического уравнения (21.6). Корни характеристического уравнения непосредственно выражаются через эти коэффициенты и следовательно через параметры системы. Таким образом, выполнение условие (21.8) связано с ограничениями, которые следует наложить на корни характеристического уравнения. Сделав это, мы тем самым наложим ограничения и на значение параметров, при которых система будет устойчива
|
|
|
Из выражения (21.7) условие (21.8) можно получить, если каждое из слагаемых в правой части (21.1.3) стремится к нулю. Последнее возможно при условии, что все a < 0, т.е. вещественные части всех корней характеристического уравнения будут отрицательными. Если хотя бы одно из a > 0, то среди суммы будет слагаемое, которое неограниченно возрастает с ростом t, и система будет неустойчива.
. 
Рис.21.2. Расположение корней на комплексной плоскости и вид соответствующих переходных процессов
Отсюда следует, что необходимое и достаточное условие устойчивости системы автоматического регулирования состоит в отрицательности вещественных корней характеристического уравнения системы.
