Устойчивость автоматических систем регулирования

Задачи, связанные с понятием «устойчивость» в трудовой и познавательной деятельности человечества, многообразны.

Основоположниками проблемы устойчивости можно считать Аристотеля (384-322 до н.э.) и Архимеда (287-212 до н.э.). Перечисление имен других ученых, которые занимались вопросами устойчивости на протяжении последующих веков, заняло бы слишком много места. Можно назвать Леонардо да Винчи, Кардано, Галилея, Ньютона, Бернулли, Эйлера, Даламбера, Лагранжа, Лапласа, Дюамеля, Пуассона, Максвелла, Вышнеградского, Жуковского, Рауса, Пуанкаре, Якоби, Фурье, Остроградского, Ляпунова, Михайлова. Одно перечисление ученых, связанных с нашими представлениями о сферах их деятельности, говорит о разнообразном применении понятия «устойчивость». Здесь и устойчивость положений равновесия различных тел, и устойчивость траектории брошенного тела, и устойчивость траекторий планет, и устойчивость кораблей, и устойчивость решений дифференциальных уравнений и т.п.

Прежде чем начать детальный разговор об устойчивости, рассмотрим примеры.

Ракета на стартовом столе. Включаются двигатели. Ракета медленно отрывается от земли, начинает крениться и падает. Такую картину Вы могли наблюдать по документальным кадрам из истории ракетостроения. Отчего это происходит? Чтобы найти ответ зададимся другим вопросом. Можно ли при изготовлении добиться того, чтобы вектор тяги ракетного двигателя точно совпадал с продольной осью ракеты? Ясно, что речь здесь может идти не об абсолютном совпадении, а лишь о совпадении с определенной, пусть и малой, но погрешностью. Наличие же хотя бы малого расхождения являлось одной из причин появления опрокидывающего момента.

Луна

Земля

Рис.21.1. Иллюстрация понятия «устойчивость»

Каждый из нас в детстве пытался удержать на руке в вертикальном положении какую-нибудь палку или что-то подобное. Порой нам это удавалось. Но вот найти такое положение, при котором палка, особенно с заостренным концом, смогла бы сама по себе оставаться в вертикальном положении, оказывалось делом практически невозможным. В первом случае мы, жонглируя, управляли положением, во втором случае наш объект был неустойчив, всякий раз падал.

На этом простом примере можно обнаружить важный для дальнейшего понимания факт: объект, будучи сам по себе неустойчив, можно сделать устойчивым за счет управления им.

С другой стороны, устойчивый объект (автомашина) можно сделать за счет управления неустойчивым (канава).

Из этого следует другой важный вывод: при определенном воздействии на устойчивый объект его можно вывести из устойчивого состояния так, что он вновь в него не вернется.

Иными словами, объект можно сделать как устойчивым, так и неустойчивым за счет управления его состоянием.

Понятие устойчивости (остойчивости) очень важно в судостроении. Вопрос об устойчивости рабочего положения корабля связан с выяснением того, что произойдет, если с помощью внешних сил изменить это положение. Вернется ли корабль вновь в исходное положение или нет после «устранения» внешних сил? Если вернется – корабль устойчив, если не вернется – неустойчив.

При изучении устойчивости корабля возникает ряд вопросов: от чего зависит - быть или не быть кораблю устойчивым, единственно ли его положение равновесия и зависит ли оно от характера и величины действующих сил. Наш практический опыт позволяет заключить, что такое положение корабля, если оно существует, единственно. Вместе с тем, зная, что устойчивость корабля связана с расположением его центра тяжести, можно заключить, что устойчивость зависит от собственных свойств корабля. И последнее: если величина действующей силы не превышает значения, при котором корабль перевернется, то какова бы ни была действующая сила, при её «снятии» корабль возвращается в исходное состояние. Отсюда следует относительная независимость устойчивости корабля от внешних сил, когда они не превышают некоторого значения. Поскольку величина возмущения выбирается здесь относительно малой, говорят, что это устойчивость «в малом». При определении устойчивости «в большом» учитывается величина действующей силы. В рассмотренном случае с кораблем можно говорить об устойчивости его «в малом» и неустойчивости «в большом». Если объект устойчив при любых возмущениях, то его называют неограниченно устойчивым.

Кроме устойчивости статического состояния существует и устойчивость движения, когда, например, рассматриваются процессы вращения Луны вокруг Земли, поддержания определенной температуры тела, давления крови, частоты пульса, стабилизации уровня воды в баке, числа оборотов двигателя и т.п. Здесь имеем дело с динамической природой равновесия. В этом случае целесообразно говорить о некоторой заданной, рабочей траектории движения, невозмущенном движении. Если на систему кроме существующих сил подействуют дополнительные внешние силы, которые затем перестанут действовать, то под их влиянием система переходит на другую, возмущенную траекторию движения, на новое - возмущенное движение.

Исходное невозмущенное движение называется устойчивым, если получающееся в результате возмущения возмущенное движение с течением времени приходит вновь к невозмущенному после «снятия» возмущения.

Обозначим через y(t) невозмущенную траекторию движения регулируемой величины, через – возмущенную траекторию ее движения и через x(t) отклонение от заданной невозмущенной траектории движения:

. (21.1)

Пусть на систему в момент времени подействовало возмущение, приведшее к появлению x(t). Возмущенное движение системы называется устойчивым по отношению к невозмущенному движению, если для всякого положительного числа e, как бы мало оно ни было, возможно подобрать другое положительное число h(e), такое, что для всех возмущенных движений, для которых в начальный момент времени выполняется неравенство:

; (21.2)

при всех t > будет выполняться неравенство:

(21.3)

Если возмущенное движение устойчиво и вместе с тем, если выполняется условие:

, (21.4)

то возмущенное движение называется асимптотическим устойчивым.

В реальном случае возмущения непрерывно действуют на АСР. Получить при этом невозмущенное движение невозможно. Оно будет изменяться в соответствии с возмущениями. Однако это не значит, что система является неустойчивой. Здесь уместно применить понятие так называемой «технической устойчивости», введенное Н.Д.Моисеевым.

Система автоматического регулирования называется технически устойчивой при непрерывном воздействии на нее случайных возмущений, если отклонение регулируемой величины (x(t)) от ее рабочей траектории движения по модулю не выходит за пределы некоторой малой величины e и если изменение начальных условий ее движения и возмущающее воздействие не превосходят по модулю некоторых других малых величин и h(e), связанных с e.

Не рассматривая всех проблем, связанных с устойчивостью, ограничимся при дальнейшем изучении лишь исследованием асимптотической устойчивости «в малом». Применительно к этому случаю можно сказать, что свойство систем быть устойчивыми или нет определяется лишь их собственными свойствами (параметрами системы). Поэтому в математической трактовке исследование устойчивости будет сводиться к проверке условия (21.4), где x(t) – решение однородного дифференциального уравнения системы (переходная составляющая его общего решения), получаемое при равенстве нулю возмущающих воздействий (правой части дифференциальных уравнений). Другими словами, исследованию будет подлежать лишь свободное движение системы из ненулевого начального состояния, траектория которого определяется только собственными свойствами.