Корневые показатели качества

Известно, что корни характеристического уравнения системы зависят от ее параметров и определяют характер протекающих в ней переходных процессов [1]. Отсюда возникает возможность судить по данным корням о быстродействии и запасе устойчивости системы.

Чем меньше вещественная часть корня, тем медленнее затухает соответствующая ему составляющая переходного процесса. Вместе с тем наличие комплексных корней приводит к появлению в переходном процессе составляющих колебательного характера.

Рассмотрим в качестве примера систему, структурная схема которой показана на рис.22.2.

g(p) x(p) y(p)

Рис. 22.2. Структурная схема системы

Изображение регулируемой величины системы определим как:

. (22.17)

Используя стандартную форму записи, запишем:

y(p) = . (22.18)

Переходная функция системы (при g(p)= ) будет:

y(t)= , (22.19)

где

Переходные функции для различных ξ показаны на рис. 22.4.

y(t)

Рис. 22.3. Переходные функции системы

Корни характеристического уравнения системы

(22.20)

равны

(22.21)

Расположение их на комплексной плоскости показано на рис. 22.4.

j j

а б

Рис. 22.4. Плоскость корней Рис. 22.5. Кривая корней при
изменении ξ

На рис. 22.5 показана кривая – геометрическое место точек, соответствующих различным значениям корней при изменении ξ.

Как следует из сравнения рис. 22.3 и рис. 22.4, – расположение корней на комплексной плоскости однозначно связано с характером переходного процесса в системе. Рассмотрим связь перерегулирования σ и времени первого максимума t_м с параметром затухания ξ. Дифференцируя выражение (22.19) и полагая производную равной нулю, получим
при ω_п γ t = π:

. (22.22)

Отсюда (22.23)

(22.24)

и, следовательно

. (22.25)

Зависимости для σ и ω_n t_м от ξ противоположны: чем больше ξ, тем меньше σ и больше ω_n t_м.

Рис. 22.6. Зависимость σ и от ξ

Данными зависимостями можно воспользоваться и для системы третьего порядка с передаточной функцией:

(22. 26)

Если выполняется условие:

(22. 27)

Другими словами поведение системы третьего порядка может быть рассмотрено как поведение системы второго порядка, если вещественная часть ближайших к минимальной оси корней по модулю в 10 раз меньше вещественной части третьего корня.

Рассмотрим связь затухания ψ за период с расположением корней на комплексной плоскости. Для этого воспользуемся выражением (22.22) и найдем затухание амплитуды синусоидального колебания за период. В некоторый момент времени t₁при y_max эта амплитуда будет равна

(22.28)

Спустя один период T = 2π/ω_пg получим

(22.29)

На основании выражений (22.28) и (22.29) запишем

(22.30)

Если в выражении (22.30) ввести обозначения

gw_n =α и , (22.31)
где α– вещественная, а β – мнимая части корней (β называется также частотой затухающих колебаний), то уравнение (22.30) можно переписать в виде

. (22.32)
Отношение β/α = μ называют к о л е б а т е л ь н о с т ь ю. Перепишем выражение (22.3.16):

. (22.33)

Отсюда можно получить:

. (22.34)
Для рассматриваемой системы имеем

. (22.35)

Из выражений (22.25), (22.34) и (22.35 можно получить еще несколько дополнительных соотношений:

(22.36)

. (22.37)

(22.38)
где σ берется в относительных единицах.

Анализируя полученные зависимости можно отметить, что при проектировании систем задача выполнения требований к σ и t_м противоречива (рис. 22.6).

Так, например, при увеличении ξ перерегулирование σ уменьшается, и время максимума t_м увеличивается. Решение задачи заключается в отыскании компромиссного решения с учетом степени важности σ и t_м для системы.

Рассмотрим вновь уравнение для переходного процесса системы n – ного порядка:

. (22.39)

Скорость затухания каждого из слагаемых определяется величиной вещественной части корня α. Чем меньше α (чем ближе корень расположен к мнимой оси), тем больше время затухания слагаемого. Проанализируем, как связана скорость затухания x(t) (время переходного процесса t_пп) со скоростью затухания каждого из слагаемых выражения (22.39).

Решим более общий вопрос: как инерционность целого зависит от инерционности составляющих это целое частей? Рассмотрим в качестве аналогии отряд, состоящий из пеших и велосипедистов. Ясно, что максимальная скорость движения всего отряда определяется максимальной скоростью передвижения наиболее инерционной его части – пеших. Рассуждая по аналогии, можно сделать вывод, что время переходного процесса t_пп будет в основном зависеть от абсолютного значения вещественной части ближайшего к мнимой оси корня
(рис. 22.6), называемый степенью устойчивости η.

j (C₁e^p₁^t + C₂e^p₂^t)

C₁e^p₁^t

p₁p₂C₂e^p₂^t

0 t

Рис. 22.7. Влияние расположения корней на t_пп.

В том случае, когда выполняется условие (22.27), можно по η определить приближенно время переходного процесса:

(22.40)

где в качестве Δ можно взять (0,02÷0,05) от установившегося значения регулируемой величины y().

Так при Δ = 0,05

(22.41)
Данная оценка t_пп, пусть и приближенная, часто достаточна для проектировщика при определении быстродействия системы. Вместе с тем t_пп, вычисленная по формуле (22.41) может служить для проверки правильности определения t_пп, например, временными методами.

Вернемся к рассматриваемой в качестве примера системе
(рис. 22.3.1).

Для нее η = x ω_n. При Δ = 0,02 будем иметь.

. (22.42)

Решим небольшую задачу по проектированию.

Пусть необходимо так выбрать коэффициент k и параметр a системы, чтобы ее перерегулирование было не более 5 %, а время переходного процесса было менее 4с.

Воспользуемся выражением (22.25), из которого для σ = 5% получим .

Далее воспользуемся уравнением (22.41), откуда

(22.43)

и следовательно

(22.44)

На плоскости корней два ограничения в виде неравенств (22.43) и (22.44) отображаются в виде заштрихованной области (рис. 22.8).

Выберем корни непосредственно на границе. Тогда Р₁ = –1 + j1 и
Р₂ = – 1 – j1. Из (22.43) и (22.44) получим, что и .

Отсюда для передаточной функции системы

(22.45)
найдем, что и .

p₁

45⁰

p₂

Рис. 22.8. Область расположения корней

Заметим, что в данном случае соответствует геометрически тангенсу угла (рис. 22.8), т.е. , а .

Из примера видно, что колебательность μ и степень устойчивости η могут использоваться не только для оценки качества работы уже имеющейся системы, но также и для постановки требований и качеству проектируемых систем.

Для систем, описываемых уравнением порядка n>2, переходные процессы имеют вид, схожий с переходными процессами для систем 2-го порядка.