Решение типовых задач. Пример 1. Решите систему уравнений

Пример 1. Решите систему уравнений

Решение. Решим данную систему уравнений методом подстановки. Из второго уравнения находим: . Подставляя это значение в первое уравнение, получаем: или после упрощения . Корнями этого уравнения являются числа , . Таким образом, получаем совокупность двух систем уравнений: и .

Первая система имеет решения , а вторая . Значит, данная система имеет решения: .

Ответ. .

Пример 2. Решите систему уравнений

Решение. Метод подстановки в данном случае приводит к сложным выкладкам. Поэтому будем рассуждать иначе: прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, тогда получаем систему: равносильную заданной.

А теперь воспользуемся методом подстановки:

Полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая система имеет решение , а вторая . Значит, решение данной системы имеет вид: .

Ответ. .

Пример 3. Решите систему

Решение. Обозначим выражение переменной , тогда получим новую систему уравнений

Решая первое уравнение системы, получаем:

D >0;

Перейдем к переменным и , и решим соответствующие совокупности систем уравнений.

Если то система примет вид:

; тогда , откуда и

Если то система примет вид:

; тогда , откуда и

Данная система имеет четыре решения:

(1;1), (0,5;2), (2;-1), (-0,5;4).

Ответ. (1;1), (0,5;2), (2;-1), (-0,5;4).

Пример 4. Решите систему уравнений:

Решение. Второе уравнение системы представим в виде: . Тогда данная система будет равносильна совокупности двух систем, решаемых методом подстановки.