Решение типовых задач. Пример 1. Решим уравнение

Пример 1. Решим уравнение

Решение. Приведем все степени к одинаковому основанию 5:

Далее получаем уравнение , которое равносильно уравнению Корнем этого уравнения, а, значит, и корнем заданного уравнения является .

Ответ. .

Пример 2. Решим уравнение

Решение. Так как то заданное уравнение перепишем в виде или , т.е. Далее имеем

Ответ. .

Пример 3. Решим уравнение

Решение. Так как то заданное уравнение можно переписать следующим образом:

Введем новую переменную, положив , и решим полученное уравнение Его корнями являются Таким образом, решение заданного уравнения сводится к решению совокупности уравнений:

Из первого уравнения этой совокупности получаем а второе уравнение корней не имеет, так как а Итак, - корень заданного уравнения.

Ответ. .

Пример 4. Решим уравнение

Решение. Так как то имеем:

Положив получим уравнение

, (*)

которое является однородным уравнением второй степени относительно переменных и .

Так как ни при каких значениях не обращается в нуль, то, разделив обе части уравнения (*) на , получим уравнение равносильное уравнению (2):

Полагая получим:

откуда

Учитывая, что запишем совокупность уравнений:

из которой находим Значит заданное уравнение имеет два корня:

Ответ. , .

Пример 5. Решим неравенство .

Решение. Преобразуем неравенство к виду

По теореме 2 данное неравенство равносильно неравенству

Решим полученное неравенство:

Из последнего неравенства методом интервалов получаем .

Ответ. .

Пример 6. Решим неравенство

Решение. Последовательно получаем:

Разделив обе части последнего неравенства на получим равносильное неравенство , или . Здесь основание удовлетворяет двойному неравенству Значит по теореме 3 неравенство