Краткие теоретические сведения. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется сумма произведений векторов на числа

Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется сумма произведений векторов на числа .

Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа , не все равные нулю, что выполняется равенство . Если же это равенство выполняется толькопри , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейной зависимости и независимости.

1. Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

2. Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

3. Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

4. Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость.

1. Сначала следует убедиться, что число векторов исследуемой системы не превосходит числа координат векторов. Если же , то можно делать вывод о линейной зависимости.

2. Проверяем, не содержит ли система векторов нулевого вектора, равных векторов, пропорциональных векторов ( и ). Если такие имеются, то также делается вывод о линейной зависимости системы.

3. Если два предыдущих пункта алгоритма не привели к результату, то составляем матрицу A, строками которой являются векторы исследуемой системы векторов и находим ее ранг. Если , то система векторов линейно зависима. Если , то система векторов линейно независима.

Линейное пространство L называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются линейно зависимыми.

Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного линейного пространства L называется базисом.

Справедливы следующие теоремы.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства L можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. . Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа - координатами вектора относительно этого базиса.

Теорема. Два вектора, заданные своими координатами, линейно зависимы тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.