2015-04-01
471
Рассмотрим однородную линейную систему
(1.20)
Очевидно, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение 
называемое тривиальным.
Матрицей системы (6) называется матрица вида
. (2.20)
Пусть ранг матрицы системы r < n. Неизвестные 
коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные (
) – свободными неизвестными.
Тогда число линейно независимых решений системы (1.20) равно n – r. При этом любые n – r линейно независимых решений системы (1.20) называются ее фундаментальной системой решений, а любое решение однородной линейной системы (1.20.) является линейной комбинацией фундаментальной системы ее решений, то есть 
, где 
- фундаментальная система решений.
Пример 1.
Найти фундаментальную систему решений однородной линейной системы
.
Решение.
Найдем r (A):
Выберем в качестве базисного минора 
.
Значит, r (A) = 2. Пусть х 4, х 5 – базисные неизвестные, х 1, х 2, х 3 – свободные неизвестные. Запишем для них новую систему:
,
откуда 
.
Фундаментальная система решений состоит из трех векторов. Рассмотрим три набора значений свободных неизвестных:
1) х 1 = 1, х 2 = х 3 = 0.
Тогда х 4 = -0,2, х 5 = 1,2, и решение можно записать в виде строки
.
2) х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 0.
При этом х 4 = 1,2, х 5 = 3,8, и следующее решение системы имеет вид
.
3) х 1 = х 2 = 0, х 3 = 1. Отсюда х 4 = -0,8, х 5 = -0,2, и последняя строка
.
Фундаментальная система решений, построенная при таком выборе свободных неизвестных, называется нормальной. Поскольку строки свободных неизвестных 
линейно независимы, это гарантирует линейную независимость решений 
.
Итак, в качестве фундаментальной системы решений можно выбрать
, , .
При этом любое решение данной системы имеет вид: 
, где с 1, с 2, с 3 – произвольные постоянные. Эта формула задает общее решение системы.
Пример 2. Найти фундаментальную систему решений системы уравнений. 
Решение. Выпишем матрицу системы, подставив последнее уравнение на первое место, затем приведем ее к ступенчатому виду:
Ранг матрицы 
. Базисный минор при переменных 
отличен от нуля: 
; выбираем в качестве базисных переменных и выражаем их через свободные 
Для получения фундаментальной системы решений поочередно заменяем неосновные переменные 
элементами строк единичной матрицы 
.
При 
приведенная выше система принимает вид:
откуда 
, т.е. получаем базисное решение 
Аналогично находим еще два базисных решения:
при 
при 
Найденные решения (векторы) образуют фундаментальную систему. Умножив компоненты решения соответственно на 8, 8, 2, получим фундаментальную систему решений с целыми компонентами.
.
