Решение типовых задач. Пример 1. Найти производную третьего порядка функции

Пример 1. Найти производную третьего порядка функции .

Решение. Сначала найдем и , обязательно упрощая полученные выражения

;

;

.

Ответ. .

Пример 2. Найти производную -го порядка функции .

Решение. Преобразуем исходную функцию следующим образом .

Вычислим производные функции.

;

;

;

…

.

Ответ. .

Пример 3. Разложить в степенной ряд функцию по степеням .

Решение. Для разложения функции воспользуемся формулой Тейлора (1). Вычислим сначала все производные функции и значения этих производных в точке .

;

; ;

; ;

; ;

;

.

Подставляя получившиеся значения в формулу Тейлора, получим разложение исходной функции в степенной ряд:

.

Ответ. .