Краткие теоретические сведения. Пусть на отрезке задана функция

Пусть на отрезке задана функция . Выполним следующие операции:

1. С помощью точек деления разобьем на малых отрезков: .

2. На каждом малом отрезке выберем произвольную точку , , составим произведение .

3. Составим, так называемую, интегральную сумму всех таких произведений

.

Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма , когда стремится к нулю.

Таким образом,

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами (границами) интегрирования, - подынтегральной функцией, а интервал - областью интегрирования.

Функция , для которой существует конечный , называется интегрируемой на промежутке , причем указанный предел не зависит ни от способа разбиения сегмента на части, ни от выбора точек в каждой из них.

Свойства определенных интегралов.

1. .

2.

3. .

4. Если на , то .

5. Если для , то

а)

б)

6. Теорема о среднем: ,

где - непрерывна на [a,b].

7. .

8.

Теорема Ньютона-Лейбница

Пусть непрерывна на отрезке и - одна из ее первообразных, тогда справедлива формула