Если необходимо знать интенсивность излучения, рассеянного пространственным распределением электронов внутри каждой элементарной ячейки, то необходим более подробный анализ. Наиболее простой метод предложен Лауэ, который состоит в суммировании вкладов от элементарных волн, рассеянных от каждого элемента кристалла.
Найдем направления распространения волн, выходящих из кристалла, относительно заданного направления распространения падающей волны и рассчитаем интенсивность дифракции электромагнитного излучения (фотонов) на кристаллической решетке, имеющей примитивную элементарную ячейку в виде косоугольного параллелепипеда с векторами . Пусть вдоль векторов решетка имеет соответственно по N, M, P узлов (см. рис. 2.2).
Рис. 2.2. Рассеяние электромагнитных волн узлами кристаллической решетки. |
Пусть на такую решетку падает волна с волновым вектором , и частотой , а отраженная волна имеет волновой вектор и частоту . Рассмотрим случай, когда не происходит изменения частоты у рассеянного излучения: , а значит (так как ) и .
|
|
Выразим направление отраженной волны через волновой вектор падающей волны и векторы примитивных трансляций кристаллической решетки.
Вектор напряженности электрического поля в падающей волне в точке пусть задается как
Вектор напряженности электрического поля в падающей волне в точке пусть задается как
Вектор напряженности электрического поля в рассеянной волне в точке :
(25)
С - коэффициент пропорциональности
- для сохранения энергии в потоке рассеянной волны.
Эта волна взаимодействует с рассеивающим центром, находящимся в точке ρ, в результате чего образуется рассеянная волна, выражение для которой можно записать в виде:
Наша задача заключается в суммировании элементарных волн, рассеянных всеми центрами рассеяния в кристалле, в результате чего мы получим амплитуду суммарной рассеянной волны в точке с радиус-вектором R, проведенным из начала координат О внутри кристалла. В этой точке расположен счетчик фотонов. Из рис.2.15 мы видим, что расстояние между рассеивающим центром и точкой наблюдения равно.
Для вектора можно записать (см. рис.2.2.):
Возведя обе части выражения в квадрат, получим:
Если извлечь квадратный корень и пренебречь членами порядка и выше, то получим: .
Тогда полный пространственный фазовый множитель рассеянной волны в выражении (25) можно представить в виде:
Так как , а направление вектора рассеянной волны совпадает с направлением , то
Следовательно, фазовый множитель можно записать так:
где - изменение волнового вектора в результате рассеяния:
|
|
с учетом вышеизложенного волну, рассеянную центром рассеяния в точке , можно представить как:
Выражение для суммарного рассеяния в данном направлении от решетки точеных атомов можно получить с помощью суммирования выражения (33) для по всем точкам решетки. В этом случае сумма фазовых множителей определяется как:
Кристалл имеет форму параллелепипеда и каждый узел решетки рассеивает падающую волну. Центры рассеяния расположены в каждом узле этой решетки: , где m,n,p – целые числа. Тогда величина суммарного рассеянного излучения пропорциональна
Величину А называют амплитудой рассеяния.
Сумма, взятая по узлам решетки, максимальна, когда (*)
для всех узлов решетки, так как каждый член, имеющий форму , равен единице.
Величина удовлетворяет условию дифракции (*), если одновременно выполняются соотношения для целых чисел h,k,l:
уравнение дифракции Лауэ
Рассмотрим вектор , равный (),
где h,k,l – целые числа, входящие в уравнение Лауэ ().
Подставляя из (), видно, что () есть решение уравнений (), если
1.
2.
Следовательно, , где - вектор обратной решетки (смотри лекцию №1).
Таким образом, условие дифракции:
Возведем обе части этого соотношения в квадрат и получим:
Так как , то (**)
Соотношение (**) эквивалентно закону Брэгга-Вульфа.
2.3. Геометрическая интерпретация уравнения Лауэ. Построение Эвальда.
Пространство обратной решетки называется пространство Фурье. В Фурье пространстве правило отбора и имеют геометрическую интерпретацию – построение Эвальда (рис. 2.3).
| ||
Рис. 2.3. Построение Эвальда. |
Построение Эвальда заключается в следующем:
1. Найдем обратную решетку кристалла, подсчитав длины . Построим сетку обратной решетки. Выберем узел обратной решетки за начальный. Направление вектора совпадает с направлением падающей волны. Вектор заканчивается на произвольном узле обратной решетки. Обозначим этот узел 0 0 0.
2. Рисуем сферу радиусом = 2p/l с центром в начале вектора . Если сфера пересекает еще один узел обратной решетки – наблюдается дифракция. Дифрагированная волна распространяется вдоль .
Построением Эвальда очень удобно пользоваться для предсказания углов поворота кристалла и направления дифрагированных лучей. Обратная решетка жестко связана с кристаллической решеткой кристалла, при повороте кристалла вместе с ним поворачивается и обратная решетка. Для наблюдения дифракции кристалл поворачивают так, чтобы вектор рассеяния совпал бы с одним из узлов обратной решетки. С помощью геометрии можно вычислить необходимые углы поворота обратной решетки (и кристалла), а затем определить, под какими углами должен быть расположен детектор излучения, регистрирующий волны с вектором .
Из рис. 2.3 видно, что между длинами векторов и существует связь:
Þ .
Так как (смотри лекцию №1) и , то
получаем формулу Брэгга-Вульфа: 2 d sinq= n l (в данном случае n =1).