Автоматический выбор шага. Правило Рунге

При выполнении практических расчетов с применением рассмотренных квадратурных формул оценку погрешности получаемых результатов можно осуществлять априорно, используя соотношения (4.3.15) – (4.3.18), (4.3.21), (4.3.22), (4.3.25) и (4.3.26). Эти соотношения позволяют получить (для заданного шага h между узлами равномерной сетки h _x) оценку сверху для погрешности аппроксимации квадратурной формулы с точностью до максимума модуля производной того или иного порядка подынтегральной функции на отрезке интегрирования. С другой стороны, основываясь на этих соотношениях можно определить максимально возможное значение h, при котором удовлетворяются заданные требования к точности результатов расчета. Однако с практической точки зрения получить достоверную оценку максимума модуля производной, даже если известно аналитическое задание подынтегральной функции, достаточно сложно. Если аналитическое задание неизвестно (что чаще всего и имеет место), а функция представлена лишь табличными значениями, то задача получения такой оценки, как правило, становится практически неразрешимой. Таким образом, возникает необходимость применения других способов оценки погрешности численного интегрирования, один из которых основан на использовании правила Рунге.

В отличие от априорной (до того как будут произведены вычисления) оценки погрешности на основании соотношений (4.3.15) – (4.3.18), (4.3.21), (4.3.22), (4.3.25) и (4.3.26) для предлагаемого подхода имеет место апостериорная оценка, которая получается в результате анализа уже произведенных вычислений.

Пусть I_k – точное, а J_k ^{( h )} – приближенное значение определенного интеграла от функции f (x), полученное в результате расчета с шагом h по одной из рассмотренных ранее квадратурных формул на частичных отрезках разбиения [ x_k, x_{k + 1}], k = 0, 1, 2, …, n – 1 отрезка [ a, b ]. Тогда будет справедливо приближенное равенство

I_k – J_k ^(h)» q_kh^m, k = 0, 1, 2, …, n – 1, (4.3.27)

где m – порядок точности используемой квадратурной формулы.

Напомним, что m = 2 для квадратурных формул левых (4.3.9) и правых (4.3.11) прямоугольников, m = 3 - для квадратурной формулы центральных (4.3.13) прямоугольников и квадратурной формулы (4.3.19) трапеций, m = 5 - для квадратурной формулы (4.3.23) Симпсона.

Уменьшим шаг сетки в два раза и повторим расчет по той же именно???? квадратурной формуле. Обозначим результат расчета как J_k ^{( h /2)}. Для него справедливо аналогичное (4.3.27) приближенное равенство

I_k – J_k ^{(h /2)}» q_k (h /2) ^m, k = 0, 1, 2, …, n – 1. (4.3.28)

Из соотношений (4.3.27) и (4.3.28) имеем

(4.3.29)

Полученное приближенное равенство часто называют правилом Рунге.

Пусть теперь задано достаточно малое число e > 0, определяющее требуемую точность вычисления значения определенного интеграла
от функции f (x) на отрезке [ a, b ] с помощью составной квадратурной формулы

(4.3.30)

Здесь I – точное значение определенного интеграла на отрезке [ a, b ]; J ^{( h )} – приближенное значение этого интеграла, определенное с помощью составной квадратурной формулы.

Для каждого частичного отрезка разбиения [ x_k, x_{k + 1}], k = 0, 1, 2, …, n – 1 дважды проведем вычисления по квадратурной формуле, имеющей порядок точности равный m, – с шагом h и h/2.

Согласно правилу Рунге (4.3.29) можно утверждать, что если
в результате для всех частичных отрезков разбиения будут выполняться неравенства

, (4.3.31)

то очевидно, что для соответствующей составной квадратурной формулы требуемая точность будет обеспечена.

Если для некоторых частичных отрезков неравенство (4.3.31) не будет выполнено, то для них необходимо повторять расчет, уменьшая каждый раз шаг h сетки в два раза до тех пор, пока не будет обеспечено его выполнение.

Рассмотренная возможность выбора величины шага между узлами квадратурной формулы для обеспечения заданной точности вычисления лежит в основе процедур численного интегрирования с так называемым автоматическим выбором шага. Отметим, что такой способ определения шага позволяет в процессе численного интегрирования варьировать расстояние между узлами составной квадратурной формулы в области интегрирования. На участках, где интегрируемая функция f (x) медленно изменяет свои значения, шаг может оставаться достаточно большим, и лишь на участках наиболее быстрого изменения значений f (x) для обеспечения требуемой точности может потребоваться дробление шага.

Очевидно, что рассмотренная процедура автоматического выбора шага может быть реализована только в том случае, когда значения интегрируемой функции во вновь образующихся при дроблении шага узлах составной квадратурной формулы либо могут быть вычислены, либо уже заданы в имеющейся таблице ее значений.

Глава 5. Численные методы решения задачи Коши
для обыкновенных дифференциальных уравнений
и их систем