Фрактальная параметризация

Фрактальная параметризация структуры материалов представляет собой набор количественных параметров, с помощью которых структуру можно описать.

Методы измерения фрактальных размерностей подразделяют на геометрические (метод островов, среза, Фурье, анализ профилей, метод вертикальных сечений, подсчет ячеек и т.д.) и физические (адсорбционные, порометрия, вторичная электронная эмиссия, скин-эффект, малоугловое рассеяние электронов). Последние требуют сложной аппаратуры и сложна интерпретация результатов измерений, поэтому редко применяют эти методы для параметризации структуры.

Геометрические более наглядны и чаще используются в материаловедении. Для описания реальных материалов существуют два принципиально разных стратегических подхода.

1) Проводятся измерения фрактальной размерности непосредственно самой изучаемой структуры.

2) Моделирование реальной изучаемой структуры какой-либо наиболее близкой к ней по конфигурации регулярной фрактальной структуры, фрактальная размерность которой уже известна или задается формулой зависимости параметров.

Геометрические методы измерения фрактальной размерности.

Прямые геометрические методы. Наиболее известен в этой группе метод «подсчета клеток».

Производится последовательное разбиение пространства, охватывающего изучаемую структуру на ячейки разного размера и подсчет числа ячеек, «занятых» структурой для каждого варианта разбиения.

Размерность определяется после проведения нескольких покрытий клетками различных размеров ε, подсчета для каждого из них числа покрывающих клеток N(ε) и определения наклона зависимости ln N-ln ε.

Непрямые геометрические методы. Эти методы отличаются от прямых методов тем, что непосредственно определяется фрактальная размерность кривых на поверхности разрушения.

Метод вертикальных сечений состоит в исследовании зависимости длины профиля поверхности разрушения от масштаба измерения. Наибольшая статистическая достоверность достигается при анализе нескольких ориентаций профилей на обрабатываемой поверхности. При этой зависимость длины профилей L от масштаба измерения ε описывается уравнением L(ε)=L₀ εd-D, где d=1 – целая размерность линии, D` - размерность профиля.

РИСУНОК.

Одним из вариантов метода вертикальных сечений является измерение отношения R_L(ε)=L(ε)/L` длины профиля к длине его проекции на плоскость параллельную средней плоскости поверхности разрушения, называемой шероховатостью. R_L(ε)=С_oε^d-D, где L_o и C_o – постоянные.

Таким образом, в методе вертикальных сечений непосредственно измеряется наклон зависимости LnL(ε) от ln(ε) или lnR_L(ε) от ln(ε), а размерность самой поверхности разрушения определяется по формуле: D=D`+1.

Пример: Шероховатость поверхности, измеренная во фрактальной размерности lnL/L₀ (относительная длина профиля поверхности стали (L), δ – масштаб измерения).

1- D=1,8 (9-й класс шероховатости)

2- D=1,5 (10-й класс шероховатости)

3- D=1 (14-й класс шероховатости)

Важное обстоятельство: самоподобие природных фракталов наблюдается только в ограниченном интервале масштабов. Нижняя и верхняя границы этого интервала зависят от конкретных структур, процессов, экспериментальных условий и т.п. и сами по себе могут выступать в качестве характеристик изучаемых структур:

РИСУНОК lg(R_L(ε) – lg (ε) Фрактальный график шероховатости поверхности разрушения металлов. Изломы отвечают характерным предельным масштабам составляющих микроструктуры.

Мультифракталы.

Это неоднородные фракталы. Теория мультифракталов с успехом применяется во многих отраслях знаний (астрономии, биологии, физике). В материаловедения используется для характеристики основных этапов эволюции усталостного разрушения материалов.

В интернете содержится огромная коллекция рисунков самых различных фракталов и фрактальных структур, а также доступных компьютерных программ, используемых для их построения.

Для мультифракталов в отличие от регулярных фракталов не достаточно введение всего лишь одной величины - его фрактальной размерности D, а необходим целый спектр таких размерностей, число которых, вообще говоря бесконечно.

Причина в том, что наряду с чисто геометрическими характеристиками, определяемыми величиной D, такие фракталы обладают некоторыми статистическими свойствами. Величина D представляет собой наиболее грубую характеристику мультифрактала и не несет информацию о его статистических свойствах. D₂ – корреляционная размерность.