Аксиоматическое определение вероятности

Пусть - пространство элементарных исходов, - некоторое множество (система) случайных событий.

Определение. Система случайных событий называется алгеброй событий, если выполнены условия: 1) ; 2) если , то , , .

Из этого определения вытекает, что , .

Определение. Алгебра событий называется - алгеброй, если из того, что , следует .

Определение. Числовая функция , определенная на алгебре событий , называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы.

Аксиома 1. Каждому событию ставится в соответствие неотрицательное число - его вероятность, т.е. для любого .

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице: .

Аксиома 3. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. , если .

Аксиома 4. Для любой последовательности событий из такой, что и , справедливо равенство .

Определение. Тройка , в которой является - алгеброй и функция удовлетворяет аксиомам 1-4, называется вероятностным пространством.

Простейшие следствия из аксиом вероятности:

1. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: . Тогда .

2. Вероятность невозможного события равна нулю: .

3. Если событие A влечет событие B , то .

4. Для любых событий A и B верны соотношения: и (Теорема сложения вероятностей).

5. Для любых событий выполняется неравенство .

6. Если события попарно несовместны (т.е. при любых ), то .

7. Если события - попарно несовместны и , то .

8. Если и , то .

Если и , то .