Если функция четная (т.е. ), то все её коэффициенты , и ряд Фурье имеет вид
,
где , .
Если функция нечетная (т.е. ), то все коэффициенты , и её ряд Фурье имеет вид
,
где .
Определение. Эти ряды называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.
Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
Пусть функция определена на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Введем новую переменную по формуле и рассмотрим функцию . Функция определена на отрезке и удовлетворяет теореме Дирихле. Ее ряд Фурье имеет вид:
,
где .
Вернемся к старой переменной .
Определение. Ряд
с коэффициентами, вычисляемыми по формулам
, ,
называется рядом Фурье для функции с периодом .
Замечание. Если на отрезке четная, то ее ряд Фурье имеет вид: , где , ;
Если - нечетная функция, то ,
где , .
Пример. Разложить в ряд Фурье - периодическую функцию, заданную на промежутке следующим образом: .
Решение. Построим график функции (Рис. 2).
|
|
Рис. 2
Данная функция имеет конечное число разрывов первого рода на промежутке . По теореме Дирихле ее можно разложить в ряд Фурье .
Вычислим коэффициенты Фурье:
; .
Ко второму интегралу применим формулу интегрирования по частям:
.
Тогда = = = .
Коэффициенты с четным индексом обращаются в нуль, а с нечетным, когда : .
Определим коэффициенты :
.
Проведя вычисления аналогичным образом, получим . Из всех коэффициентов ненулевыми будут коэффициенты с четным индексом : . Поставим найденные коэффициенты в ряд Фурье .
По теореме Дирихле составленный ряд Фурье сходится к функции , которая совпадает с во всех точках ее непрерывности. Поэтому знак можно заменить знаком равенства: ,
В точках разрыва функции сумма ряда .
В точках разрыва , . И так,
Пример. Разложить в ряд Фурье - периодическую функцию, заданную на промежутке следующим образом: .
Рис. 3 |
Решение. График функции изображен на Рис. 3.
Функция непрерывна на всей оси и может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся к ней при всех , т.е. для любого . Так как - четная и , то .
Вычислим коэффициенты:
; = , т.е.
, .