Дисперсия случайной величины

Определение. Дисперсией случайной величины называется неотрицательное число , равное математическому ожиданию квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания:

.

Таким образом, дисперсия равна:

или , если случайная величина дискретная;

, если случайная величина непрерывна.

При этом ряд и несобственный интеграл должны сходиться.

Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: .

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

5. Дисперсия случайной величины удовлетворяет соотношению:

.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии: .

Пример. Найти дисперсию случайной величины .

Решение. Найдем сначала математическое ожидание случайной величины: = = .

Дисперсию случайной величины найдем по определению: = = = .

Пример. Найти дисперсию случайной величины , которая задана следующим законом распределения: .

Решение. Найдем математическое ожидание: .

Запишем закон распределения случайной величины :

Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины: .

По свойству 5 дисперсия будет равна:

= .