2015-04-01
15637
Определение. Функцией распределения случайной величины 
называется функция 
действительной переменной, определяемая равенством:
,
где 
- вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее 
.
Свойства функции распределения .
1. Все значения функции распределения принадлежат отрезку 
, т.е. 
.
2. Функция является неубывающей: если 
, то 
.
3. непрерывна слева при любом , т.е. 
.
4. 
, 
.
5. Вероятность того, что случайная величина примет значение из полуинтервала 
, равна разности значений функции распределения в концах этого промежутка 
.
Функция распределения полностью характеризует случайную величину как дискретную, так и непрерывную. Функцию распределения еще называют интегральным законом распределения.
Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид: 
, где выражение 
означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше . Такая функция является ступенчатой функцией. Для непрерывной случайной величины функция распределения является непрерывной функцией.
|
|
|
Непрерывная случайная величина может быть охарактеризована еще одной функцией.
Определение. Плотностью распределения случайной величины называется числовая функция 
, определяемая соотношением: 
(т.е. предел отношения вероятности того, что значение случайной величины попадет в промежуток 
к длине этого промежутка).
Свойства плотности распределения .
1. Функция является неотрицательной: 
.
2. Интеграл по бесконечному промежутку 
от плотности распределения вероятностей равен единице: 
(это свойство называют условием нормировки).
3. В точках дифференцируемости производная функции распределения равна плотности распределения вероятностей:
.
4. Функция распределения связана с плотностью распределения соотношением: 
.
5. Вероятность попадания значений случайной величины в полуинтервал 
равна определенному интегралу от плотности распределения по отрезку 
: 
.
Свойства 3 и 4 устанавливают связь между функцией распределения и плотностью распределения. Плотность распределения еще называют дифференциальным законом распределения.
Пример. Случайная величина задана функцией распределения 
.
Найти плотность распределения , построить графики функций и .
Решение. Используя свойство 3, находим: 
.
Графики функций и изображены на Рис.4 и 5.
Рис. 4
Рис. 5
Пример. Найти функцию для дискретной случайной величины, закон распределения которой задан таблицей: 
.
Решение. Так как случайная величина является дискретной, то функцию строим, используя формулу .
При 
.
Если 
, то 
.
При 
: 
.
Если 
: то 
.
При 
: 
.
График функции изображен на Рис. 6.
 |
Рис. 6
Пример. Для случайной величины известна плотность распределения 
. Требуется найти функцию распределения .
|
|
|
Решение. Будем использовать свойство 4 плотности распределения.
Рассмотрим следующие промежутки:
Пусть , тогда 
;
Пусть 
, тогда 
;
Пусть 
, тогда 
.
Окончательно, получаем: 
.
