Решение. Если функция f(x) – бесконечное число раз непрерывно дифференцируемая, то она может быть разложена в степенной ряд по формуле

Если функция f(x) – бесконечное число раз непрерывно дифференцируемая, то она может быть разложена в степенной ряд по формуле:

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции f(x) (если разложение в точке , то ряд называется рядом Маклорена). В области сходимости сумма этого ряда совпадает с функцией f(x).

При разложении функции в степенной ряд можно использовать общую формулу или известные разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена (п.2.2.2.).

Преобразуем рассматриваемую функцию и воспользуемся разложением: . Имеем:

Разложим сначала в ряд функцию

. Область сходимости этого ряда . Степенной ряд в области сходимости можно дифференцировать почленно, поэтому

Таким образом, мы получили разложение в ряд для второго слагаемого. Аналогично, для первого слагаемого имеем:

Складывая эти два ряда, получаем

Область сходимости этого ряда - это круг с центром 1 и радиусом 3/2. Таким образом, радиус сходимости – 3/2.

Ответ: Степенной ряд имеет вид -

Радиус сходимости - 3/2, область сходимости .

5. Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на отрезке формулой: .

Решение. Функция является кусочно-непрерывной, поэтому удовлетворяет условиям Дирихле, значит, эту функцию можно разложить в ряд Фурье, сходящийся к ней в точках непрерывности. Данная функция не является ни четной, ни нечетной, поэтому требуется найти все коэффициенты ряда. Имеем: ,

= + .

Аналогично находим .

Исходной функции соответствует ряд Фурье . Функция непрерывна во всех внутренних точках отрезка , поэтому, для всех этих точек имеем равенство: , т.е. .

В точках сумма ряда равна .

Графики функций и показаны на Рис. 11.

Рис. 11

Ответ. Разложение в ряд Фурье имеет вид: .

Варианты заданий контрольной работы № 7

Таблица 1. Варианты задания 1

№ варианта	Пример	№ варианта	Пример

Таблица 2. Варианты задания 2

№ варианта	Пример	№ варианта	Пример
	а) , - верхняя полуокружность . б)		а) ; б) , - окружность
	а) , - отрезок прямой между точками ; б)		а) , - верхняя полуокружность . б)
	а) ; б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) , - отрезок прямой между точками ; б)		а) , - верхняя полуокружность . б)
	а) , - отрезок прямой между точками ; б)		а) б)
	а) , где - окружность радиуса с центром в точке . б) , - окружность		а) , - верхняя полуокружность б)
	а) б)		а) б) , - окружность
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) , L – линия, соединяющая точки и . б)
	а) , L – линия, соединяющая точки и . б)		а) б)
	а) б)

Таблица 3. Варианты задания 3

№ варианта	Пример	№ варианта	Пример
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)		а) б)
	а) б)