Реляционное отношение

Пусть имеется выборка наблюдений , которая представлена на диаграмме рассеяния, именуемой также полем корреляции (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Диаграмма рассеяния

Разобьем диаграмму на четыре квадранта так, что для любой точки будут определены отклонения

Очевидно, что для всех точек I-го квадранта ;для всех точек II квадранта ; для всех точек III квадранта ;для всех точек IV квадранта . Следовательно, величина может служить мерой зависимости между переменными и . Если большая часть точек лежит в первом и третьем квадрантах, то и зависимость положительная, если большая часть точек лежит во втором и четвертом квадрантах, то и зависимость отрицательная. Наконец, если точки рассеиваются по всем четырем квадрантам близка к нулю и связи между нет.

Указанная мера зависимости изменяется при выборе единиц измерения переменных и . Выразив в единицах среднеквадратических отклонений, получим после усреднения выборочный коэффициент корреляции:

(2.9)

из выражения (2.9) можно после преобразований получить следующую формулу для квадрата коэффициента корреляции:

или . (2.10)

Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации. Согласно (2.10) значение коэффициента детерминации не может быть больше единицы, причем это максимальное значение будет достигнуто при , т.е. когда все точки диаграммы рассеяния лежат в точности на прямой. Следовательно, значения коэффициента корреляции лежат в числовом промежутке от до .

Кроме того, из (2.10) следует, что коэффициент детерминации равен доле дисперсии (знаменатель формулы), объясненной линейной зависимостью от (числитель формулы). Это обстоятельство позволяет использовать как обобщенную меру качества статистического подбора модели (2.6). Чем лучше регрессия соответствует наблюдениям, тем меньше и тем ближе к 1, и наоборот, чем «хуже» подгонка линии регрессии к данным, тем ближе значение к 0.

Поскольку коэффициент корреляции симметричен относительно и , т.е. ,то говорят о корреляции как о мере взаимозависимости переменных. Однако из того, что значения этого коэффициента близки по модулю к единице, нельзя сделать ни один из следующих выводов: является причиной ; является причиной ; и совместно зависят от какой-то третьей переменной. Величина ничего не говорит о причинно-следственных связях. Эти вопросы решаются, исходя из содержательного анализа задачи. Следует избегать и так называемых ложных корреляций, т.е. нельзя пытаться связать явления, между которыми отсутствуют реальные причинно-следственные связи. Например, корреляция между успехами местной футбольной команды и индексом Доу-Джонса. Классическим является пример ложной корреляции, приведенный в начале века известным российским статистиком А.А. Чупровым: если в качестве независимой переменной взять число пожарных команд в городе, а в качестве зависимой переменной - сумму убытков от пожаров за год, то между ними есть прямая корреляционная зависимость, т.е. чем больше пожарных команд, тем больше сумма убытков. На самом деле здесь нет причинно-следственной связи, а есть лишь следствия общей причины - величины города.

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции эквивалентна проверке гипотезы о (см. ниже) и, следовательно, равносильна проверке основной гипотезы об отсутствии линейной связи между и .

Вычисляя значение -статистики

вывод о значимости делается при где - соответствующее табличное значение -распределения с степенями свободы и уровнем значимости .

Пример. Вычислить коэффициент корреляции и проверим его значимость для нашего примера табл. 2.1.

Используя формулу (2.9) находим Значение -статистики .Так как и коэффициент корреляции значим. Следовательно, можно считать, что линейная связь между переменными и в примере существует.

Если между переменными имеет место нелинейная зависимость, то коэффициент корреляции теряет смысл как характеристика степени тесноты связи. В этом случае используется наряду с расчетом коэффициента детерминации расчет корреляционного отношения.

Предположим, что выборочные данные могут быть сгруппированы по оси объясняющей переменной . Обозначим через - число интервалов группирования, - число выборочных точек, попавших в -й интервал группирования, - среднее значение ординат точек, попавших в интервал группирования, - общее среднее по выборке. С учетом формул для оценок выборочных дисперсий среднего значения внутри интервалов группирования и суммарной дисперсии результатов наблюдения получим

(2.11)

Величину в (2.11) называют корреляционным отношением зависимой переменной по независимой переменной .Его вычисление не предполагает каких-либо допущений о виде функции регрессии.

Величина по определению неотрицательная и не превышает единицы, причем свидетельствует о наличии функциональной связи между переменными и .Если указанные переменные не коррелированны друг с другом, то ..

Можно показать, что не может быть меньше величины коэффициента корреляции (формула (2.9) и в случае линейной связи эти величины совпадают.

Это позволяет использовать величину разности - в качестве меры отклонениярегрессионной зависимости от линейного вида.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: