2015-04-01
3889
1. Проверить коммутативность и ассоциативность операций.
1) сложение чисел; 2) умножение чисел; 3) сложение матриц; 4) умножение матриц (проверить на примере квадратных матриц А, В и С 2-ого порядка); 5) возведение в степень; 6) ln xy (где х, у >0); 7) х-у; з) х/у.
2.Проверить дистрибутивность слева и справа операции ψ отношению к операции φ.
1) φ – сложение чисел, ψ – умножение чисел; 2) φ – умножение чисел, ψ – сложение чисел; 3) φ – объединение множеств, ψ – пересечение множеств; 4) φ – пересечение множеств, ψ – объединение множеств; 5) φ – умножение чисел, ψ – возведение в степень; 6) φ – возведение в степень, ψ – умножение чисел; 7) φ – возведение в степень, ψ – сложение чисел.
3. На множестве 
задать с помощью таблицы Келли операции 
– сложение по модулю 4 и 
– умножение по модулю 4. Продемонстрировать на примере их коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность по отношению к , отсутствие дистрибутивности по отношению к .
4. На множестве 
задать с помощью таблицы Келли операции – сложение по модулю 16 и – умножение по модулю 16.
Найти значения выражений:
1) 
;
2) 
.
5. В конечной алгебре поля 
рассчитать значения выражений:
1) 
;
2) 
.
6. В поле 
, операции которого заданы таблицами Келли
| * | a | b | c | d | + | a | b | c | d | |
| a | a | a | a | a | a | a | b | c | d | |
| b | a | b | c | d | b | b | a | d | c | |
| c | a | c | d | b | c | c | d | a | b | |
| d | a | d | b | c | d | d | c | b | а |
1) единичный элемент по операции *;
2) единичный элемент по операции +;
3) противоположный и обратный элемент для каждого элемента 
;
4) найти значения выражений:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
5) решить систему
;
.
7. Дано множество 
. Задано поле 
, где
 | a | b | c | d | + | a | b | c | d | |
| a | a | a | a | a | a | a | b | c | d | |
| b | a | b | c | d | b | b | a | d | c | |
| c | a | c | d | b | c | c | d | a | b | |
| d | a | d | b | c | d | d | c | b | а |
Найти единичные элементы по операциям и +, противоположные элементы для каждого, решить систему:
;
.
8. Доказать единственность единичного элемента в группе.
9. Доказать единственность обратного элемента в группе.
10. Пусть 
ассоциативная операция, заданная на множестве А, такая что для каждого элемента 
существует обратный элемент 
. Доказать, что 
.
11. Дано 
. На множестве А заданы преобразования 
. На множестве преобразований 
задана операция композиции преобразований .
Проверить, будет ли алгебра 
полугруппой.
12. Составить полугруппу с операцией 
– композиция преобразований, для которой множество подстановок 
является системой образующих.
Что надо сделать, чтобы эта полугруппа стала моноидом.
13. Пусть S – множество всех перестановок 
. Определить свойства алгебры 
. Будет ли оно группой? Будет ли группа абелевой?
14. Будет ли алгебра (B(U), 
) решеткой? Изобразить диаграмму Хасса.
15. Будет ли алгебра (
) решеткой? Изобразить диаграмму Хасса.
16. Является ли решеткой множество целых чисел Z с операциями 
и 
, таких что для любых 
выполняется:
, 
.
17. Будет ли решеткой множество, диаграмма Хасса которой изображена на рисунке. Почему?
Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3
18. Проверить на примере выполнение условия изоморфизма между алгебрами:
1) (B(U), 
, ┐) и (
, ┐);
2) (
, ┐); (B (U), 
, ┐), где 
.
19. Определить изоморфны ли алгебры:
1) 
и 
, где гомоморфизм задается 
;
2) и 
, где гомоморфизм задается 
;
3) 
и 
, где гомоморфизм задается ;
4) 
и , где гомоморфизм задается ;
5) и 
, где гомоморфизм задается 
;
6) 
и 
, где гомоморфизм задается 
;
7) 
и 
, где гомоморфизм задается 
;
