Показательные неравенства

Решение показательных неравенств основывается на свойствах монотонности показательной функции . Напомним, что при функция строго возрастает, а при функция убывает.

Перечислим основные методы решения показательных неравенств.

1. Приведение обеих частей неравенства к одинаковому основанию:

;

2. Вынесение общего множителя за скобки.

3. Введение новой переменной.

4. Логарифмирование обеих частей неравенства по выбранному основанию.

5. Неравенства вида , где , , , , .

6. Неравенства вида

Пример 6.7. Решить уравнение .

Решение. Так как ; , то, учитывая, что основание , исходное неравенство перепишется в виде:

.

Ответ: .

Пример 6.8. Решить уравнение .

Решение. Так как основание , то

.

Ответ: .

Пример 6.9. Решить неравенство .

Решение. Так как основание , то

.

Ответ: .

Пример 6.10. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 6.11. Решить неравенство .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 6.12. Решить неравенство .

Решение. .

Сделаем замену , , тогда исходное неравенство примет вид:

.

Ответ: .

Пример 6.13. Решить неравенство

Решение. .

Сделаем замену: , , тогда

.

Ответ: .

Пример 6.14. Решить неравенство:

Решение.

Разделим обе части неравенства на , получаем .

Сделаем замену , тогда

.

Ответ: .

Пример 6.15. Решить неравенство:

Решение: Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

.

Ответ: .

Пример 6.16. Решить неравенство:

Решение.

Решим первую систему полученной совокупности:

Данная система решений не имеет.

Решим вторую систему совокупности:

.

Ответ: .

Пример 6.17. Решить неравенство .