Показательные уравнения

Показательные уравнения и неравенства

Определение 6.1. Показательными называется уравнения, у которых переменная содержится в показатели степени.

Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений.

1. Приведение обеих частей уравнения к одинаковому основанию:

, где , .

2. Вынесение общего множителя за скобки.

3. Уравнения, в которых правая и левая часть не приводится к одному основанию, можно решить логарифмированием:

.

4. Введение новой переменной.

5. Уравнение вида , где , , , , .

6. Показательно-степенные уравнения

7. Функциональный метод.

Пример 6.1. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

Пример 6.1. Решить уравнение .

Решение. Найдем предварительно ОДЗ уравнения:

.

Тогда на ОДЗ получим:

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: .

Пример 6.2. Решить уравнение .

Решение. Так как левая часть является строго убывающей функцией, то любое положительное значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Подбором получаем, что решением уравнения является .

Ответ: .

Пример 6.3. Решить уравнение .

Решение. Прологарифмируем уравнение по основанию 4:

Ответ: .

Пример 6.4. Решить уравнение: .

Решение. Прологарифмируем уравнение, например, по основанию 4. Тогда:

Ответ: .

Пример 6.5. Решить уравнение

.

Решение. Отметим, что

, , .

Введем замену , , тогда уравнение примет вид:

Сделаем замену: , , тогда

.

Переходя обратно к переменной , получаем

Ответ: .

Пример 6.6. Решить уравнение

Решение. Проведем предварительно преобразование правой части уравнения

.

Тогда исходное уравнение привет вид:

Ответ: .