Решение целых рациональных неравенств

Если в неравенстве функции и заданы целыми рациональными выражениями, то его называют целым рациональным неравенством.

Если неравенство привести к равносильному и разложить левую часть на линейные множители, то такое неравенство можно решить методом интервалов.

Суть этого метода в следующем:

· Перенести все слагаемые в левую часть и решить уравнение, приравняв выражение в левой части к нулю;

· Найденные корни уравнения нанести на числовую ость. Эти корни разбивают числовую ось на промежутки, на каждом из которых выражение, стоящее в левой части, сохраняет знак;

· Выбрать в каждом из промежутков какое-нибудь значение («пробную» точку) и определить знак выражения в этой точке;

· Выбрать промежутки, в которых выражение имеет требуемый знак и записать ответ, взяв их объединения.

Пример. Решить неравенство:

.

Решение. Уравнение имеет четыре корня ; ; и . Эти числа разбивают числовую ось на пять промежутков:

Выбрав в каждом промежутке контрольную точку, определим знак функции, стоящей слева нашего неравенства. Неравенство выполняется в промежутках:

Замечание. Если все множители в левой части имеют первую степень, то остаточно найти знак в каждом промежутке, а потом учесть, что она меняет знак при переходе от одного промежутка к соседнему, и нарисовать «кривую знаков». Если эта кривая расположена выше оси абсцисс, левая часть неравенства положительна, а там, где эта кривая расположена ниже оси абсцисс, левая часть неравенства отрицательна.

Замечание. Однако метод интервалов дал бы неверный результат, если бы среди корней многочленов были кратные корни, а это значит, что в левой части неравенства не только линейные множители.