Раздел III. Интегральное исчисление

§1.Неопределенный интеграл, его свойства. Правила и формулы дифференцирования. Непосредственное дифференцирование.

Основная задача интегрального исчисления обратна основной задаче дифференциального исчисления.

Пусть дана функция f (x). Требуется найти такую функцию F (x), что dF(x)=f ' (x) dx, т.е. F' (x)= f (x).

Функция F(x) называется первообразной для функции f (x). Выражение

F(x) +C, где С – произвольная постоянная, представляет совокупность всех первообразных для функции f (x) и называется неопределенным интегралом. Действие нахождения функции по её дифференциалу называется интегрированием.

Необходимо выучить основные свойства неопределенного интеграла и основные формулы интегрирования (табличные интегралы).

Приведем основные свойства неопределенного интеграла:

Действия интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными: (в частном случае ; ;) .
Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вывести за знак интеграла:

, где с =const

Интеграл от алгебраической суммы функции равен алгебраической сумме интегралов от каждой функции в отдельности (и наоборот).

Основные формулы интегрирования:

(1) (2) , где n

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

Пример 1. Найти

Р е ш е н и е. Воспользуемся определением степени с дробным показателем и найдем интеграл

Пример 2. Найти: а) ; б)

Р е ш е н и е. а) Воспользуемся определением степени с отрицательными показателями и найти интеграл

б) По формуле (2) найдем интеграл

Пример 3. Найти:

а) В подынтегральном выражении разделим числитель на

знаменатель и воспользуемся свойством неопределенного интеграла. .

Неопределенные интегралы вычислены с использованием формул (2) и (3) таблицы интегралов.

Пример 4. Вычислить I =

Р е ш е н и е. Выполним элементарные преобразования над подынтегральной функцией:

I =

Используя свойство 3 неопределенного интеграла, получим

I = +

Далее, используем табличные формулы (2) и (6), а также свойство 2 неопределенного интеграла:

Интегрирование подстановкой. Приём интегрирования функции, при котором путем замены всей подынтегральной функции или какой либо её части новым переменным приводится данный интеграл к табличному, называется интегрированием подстановкой.

Пример 5. Вычислить

Р е ш е н и е. Выполним замену 2 х = t; тогда дифференцируя левую и правую части равенства, получим 2 dx = dt и dx =

Следовательно,

При решении мы вынесли за знак интеграла сомножитель 1/2, применили формулу (7) и вернулись к прежней переменной х.

Пример 6. Вычислить .

Р е ш е н и е. Воспользуемся подстановкой х ² + 3 = t, где t – новая переменная. Продифференцируем обе части равенства:

2xdx = dt, т.е. xdx= . Тогда интеграл имеет вид:

Произведя замену t = х ² + 3, получим

Пример 7. Найти

Р е ш е н и е. Замечаем, что sin xdx есть дифференциал функции – cos x. Полагая cos x =z, находим - sin xbх = bz, т.е. sin xbх = bz. Тогда интеграл имеет вид

Пример 8. Вычислить

Р е ш е н и е. Положим kх = t, тогда k · dx = dt, значит, dx=

Методом подстановки или методом элементарных преобразований были получены следующие табличные интегралы:

(10) (11)

(12) (13)

(14) (15)

§2. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона- Лейбница.

Пусть функция у = f (x) разделена на отрезке от а до b на n элементарных равных частей точками a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_n = b; выберем на каждом отрезке от х _-1 до произвольную точку и обозначим через длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции на отрезке от a до b называется сумма вида:

Определенным интегралом от функции f (x) на отрезке от a до b называется пределинтегральной суммы при условии, что длина элементарного отрезка стремится к нулю; при этом употребляется запись .

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Таким образом,

Для любой функции f (x), непрерывной на отрезке от a до b, всегда существует определенный интеграл .

Основными свойствами определенного интеграла являются:

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого в отдельности:

При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования меняется знак определенного интеграла на противоположный:

Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

Для вычисления определенного интеграла от функции f (x) в том случае, когда можно найти соответствующий определенный интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница:

т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Все методы интегрирования рассматриваемые при изучении неопределенного интеграла, используются при вычислении определенного интеграла. Отметим, что если определенный интеграл вычисляется методом подстановки, то при переходе к новой переменной необходимо изменить и пределы интегрирования.

Пример 9. Вычислить

Р е ш е н и е. Положим , тогда , т.е.

Если х =1, то t =2; если х =0, то t =1. Значит,

Пример 10. Вычислить .

Р е ш е н и е. Положим lnx = t; если х = l, то t =0, если х =l, то t =1.

Пример 11. Вычислить

Р е ш е н и е. Выполним действия под знаком интеграла и применим табличные интегралы (1). При этом получим:

§3. Приложение определенного интеграла.

Интегральное исчисление даёт общий приём вычисления площадей плоских фигур, объемом тел вращения, работы, силы и др. Этот приём необходимо изучить по учебнику.

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями