Раздел IV. Дифференциальные уравнения

§1. Понятие о дифференциальном уравнении.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, её производную (или дифференциал аргумента и дифференциал функции).

Если дифференциальное уравнение содержит производную или

Дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения F(x,y,y’)=0, где y=f(x)- искомая неизвестная функция, y’=f’(x)-её производная по х, а F- заданная функция переменных х,y,y’.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y=v(x,c) от х и произвольной постоянной с, обращающее это уравнение в тождество по х.

Общее решение, записанное в неявном виде Ф(х,у,с)=0, называется общим интегралом.

Частным решением уравнения F(x,y,y’)=0 называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении с:

Ф(х,у,Со), где Со- фиксированное число.

Частным интегралом уравнения F(x,y,y’)=0 называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С: Ф(х,у,Со)=0.

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

Общий вид такого уравнения Х(х)Y(y)dx+X₁(x)Y₁(y)dy=0, где Х(х), X₁(x)-функции только от х, Y(y), Y₁(y)- функции только от у.Поделив обе части уравнения на произведение X₁(x)Y(y) ≠ 0, получим уравнение с разделяющими переменными:

Х(х)/Y(y)dx+Y₁(y)/ Y(y)dy=0

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

∫Х(х)/Y(y)dx+∫Y₁(y)/ Y(y)dy=С

Пример 1. Решить уравнение y dy =x dx. Найти частное решение, удовлетворяющее условию у = 4 при х = -2.

Решение. Данное уравнение с разделяющими переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения:

∫ y dy =∫ х dх, 1/2 у² = 1/2 х ² + с/2

Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представляем в виде с/2. Тогда у² = х ² +с

Подставив в общее решение значения у = 4 и х = -2, получим 16 = 4 + с, откуда

с = 12. Итак частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид у² = х ² + 12

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.