Общий вид такого уравнения

У′= f(x)y + q(x),

где f(x) и q(x) - заданные функции от х, это уравнение является линейным относительно искомой функции и её производной.

Если q(x)=0, то линейное дифференциальное называется однородным. Оно имеет вид У′= f(x) y и решается методом разделения переменных:

dy/dx =f(x) y, dy/y = f(x) dx,

∫ dy/y = ∫ f(x) dx, ln y= F(x) + ln c₁

y = c₁e ^F(x),y =^=_+C₁e ^F(x), y =Ce ^F(x),

где F(x) – некоторая первообразная функции f(x), а С=+-С₁– произвольная постоянная.

Если f(x) = 0, то уравнение принимает вид y′ = q(x) и решается методом разделения переменных:

dy/dx =q(x), dy = q(x) dx, y = Q(x) + C_1,

где Q(x)-некоторая первообразная функции q(x), а С – произвольная постоянная.

Существуют различные приёмы решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Рассмотрим два из них.

Данный приём решения основан на применении следующей теоремы: если у = q(x)- некоторое решение уравнения, то все решения этого уравнения задаются формулой, y =Ce ^F(^x)+q(x),

где Ce ^F(^x) – общее решение однородного уравнения. Иными словами, для нахождения общего решения уравнения достаточно найти хотя бы одно его частное решение.

2. Данный приём решения основан на простом замечании, что любую величину t (переменную или постоянную) можно представить в виде произведения двух множителей: t= uv, причём один из них можно выбрать произвольно (лишь бы он был отличен от 0).

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения будем искать в виде у = uv, где u и v- функции от х.

§3. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше второго порядка, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Общий вид такого уравнения

F(x, y, y ′, y″) = 0″,

Где у = f(x) – искомая неизвестная функция, у′ = f ′(x) и у″ = f ″(x) – её производные по х первого и второго порядков, а F- заданная функция переменных х, у, у′, у″.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция у =q(x, C₁, C₂) от х и двух произвольных постоянных C₁, C₂, обращающая это уравнение в тождество по х.

Общее решение, записанное в неявном виде Ф(х,у, C₁, C₂), называается общим интегралом.

Частным решением уравнения F(x, y, y ′, y″) = 0″, называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении C_1, C_2.:

У = q(x, С₁, С₂), где С₁и С₂– фиксированные числа.

Частным интегралом этого уравнения называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении C_1, C_2.

Общее решение дифференциального уравнения F(x, y, y ′, y″) = 0″ можно рассматривать как семейство интегральных кривых данного уравнения, зависящее от двух параметров С₁и С_2.Частному решению, полученному из общего, соответствует одна кривая этого семейства.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y″ + py ′+ q y = f(x),

где p и q- некоторые числа.

Если f(x) = 0, то дифференциальное уравнение называется линейным однородным. Оно имеет вид

y″ + py ′+ q y = 0,

Решением данного дифференциального уравнения должна быть такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение, превратит его в тождество. Левая часть уравнения представляет собой сумму функции у и её производных y ′ и y″, взятых с некоторыми постоянными коэффициентами. Чтобы такая сумма обратилась в нуль. Надо, чтобы

у, y ′, y″ были подобны между собой.

Задания для самостоятельной работы.

Решите дифференциальные уравнения и найдите частные решения (частные интегралы), удовлетворяющие данным условиям:

1. (x+1)³dy-(y-2)²dx = 0, y=0 при х=0.

2. (√ ху+√ х)у′ – у = 0, у =1 при х=1.