Принятие решений при задании предпочтений в форме отношений

Одной из характеристик целей является связанное с ней предпочтение на множестве исходов. При осознании цели возможно осознать, что лучше, что хуже по отношению к этой цели, т.е. возможно построить отношение предпочтений, которое включает в себя отношение доминирования (а>b а лучше b) и отношение безразличия (a~b, а сопоставимо с b) на множестве исходов А.

Существуют следующие методы выявления предпочтений:

1. Попарное сравнение объектов множества А. указывается наличие или отсутствие предпочтений:

1 – доминирующий объект a>b;

0 – доминируемый объект a<b;

1/2 – безразличие (одинаковы) a~b;

«—» - несравнимость объектов (пустая клетка)

Кто-то выявил предпочтения на множестве (чай, кофе, компот, лимонад)

	чай	кофе	компот	лимонад
чай	1/2
кофе		1/2
компот			1/2	1/2
лимонад			1/2	1/2

2. Сравнение объектов по значениям показателей.

С точки зрения имеющейся цели необходимо выявить существенные показатели и сравнение объектов проводить на этом основании, например при установлении предпочтений среди кандидатов на должности существенные показатели это: уровень профессиональной подготовки, организационные способности, возраст и т.п. При выборе места работы учитываются следующие показатели: обстановка в коллективе, творчество в работе, заработная плата…

При сравнении показателей объектов необходимо учитывать технические показатели, стоимость, надежность. Первичная информация для сравнения задается таблицей.

показатели объекты	P₁	P₂	…	P_m
a₁	P₁(a₁)	P₂(a₁)	…	P_m(a₁)
a₂	P₁(a₂)	P₂(a₂)	…	P_m(a₂)
…	…	…	…	…
a_n	P₁(a_n)	P₂(a_n)	…	P_m(a_n)

P_j(a_i) – значение j показателя для объекта a_i; - вектор показателей для объекта а.

Для выявления предпочтений необходима система решающих правил позволяющая установить предпочитается объект a_i объекту a_k или нет. Единого, универсального решающего правила не существует, но для конкретных случаев на основе содержательных соображений производится выбор решающего правила:

1. Абсолютное предпочтение объекта множества А a_i ≥ a_k j=1;m (P_j(a_i)≥P_j(a_k)). Это отношение транзитивно, но является слабым, т.к различных сравнимых объектов в этом смысле мало.

2. Предпочтение по правилу большинства.

3. Предпочитается по балльным оценкам объекта множества А. Для любого показателя устанавливается определенное число градаций. Низший балл=1 при переходе к следующему уровню оценка повышается на 1. Эта система применима для экспертных оценок. Число L_ij – балл, которым j эксперт оценивает i объект. Выявление предпочтений является согласованием мнений экспертов.

4. Предпочтение по квазиупорядочиванию множества. Если для любого объекта множества А задана таблица показателей P_j, то любому показателю P_j присваивается вес λ_j выражающий значимость этого показателя. Тогда взвешенная сумма - суммарная оценка объекта a_i. . Это самый сильный критерий из рассмотренных, т.к. приводится к линейному квазиупорядоченному множеству А, однако, труден при рассмотрении различных по своей природе показателей для которых установить вес непросто.

Итак, процедура выбора решающего правила не формализована и представляет собой сложную концептуальную проблему. Кроме того в процессе выбора оптимальных исходов возникает проблема выбора самого критерия оптимальности, т.е. известно что «лучше», но неизвестно, что значит «хорошо».

Выделяют 2 принципа оптимальности для задачи выбора объекта при заданном предпочтении:

1. Принцип недоминируемости. В качестве множества «хороших» объектов берется множество недоминируемых элементов множества А, т.е. таких элементов, для которых . Это множество называется С – ядром.

2. Принцип Неймана – Моргенштерна.

В качестве множества «хороших» объектов берется такое подмножество множества А, которое внутренне и внешне устойчиво. Множество называется внешне устойчивым если для каждого элемента вне множества Х найдется такой элемент множества Х, который предпочтительней внешнего элемента, т.е.

Ранжирование объектов – это расположение объектов в цепочку по убыванию их ценности, пригодности, важности от самого пригодного до самого плохого. Если есть равноценные объекты, в этом случае множество разбивается на классы равноценности, а классы в свою очередь ранжируются.

Простое ранжирование – это разбиение на 2 класса «плохие» и «хорошие» объекты. С точки зрения теории отношений, ранжирование есть задание линейкой транзитивной структуры доминирования безразличия или задание на множестве А линейного квазипорядка, при этом классы равносильных объектов являются классами эквивалентности. Геометрическое представление ранжирования – это диаграмма квазиупорядоченного множества, представляющая собой граф каждый класс эквивалентности это вершина, дуги указывают предпочтение.

Ранжирование согласованно предпочтениям проводится в 3 этапа:

1. Построение «грубого» ранжирования.

Разбиваем множество А на классы отношения взаимной достижимости в графе с помощью выделения контуров графа. В качестве линейного упорядочивания этих классов берем фактор – группы отношения ≥ по эквивалентности.

2. Построение тонкого ранжирования для каждого класса элементов, полученных при грубом ранжировании. Осуществляется по компонентам предельного вектора матрицы предпочтений. Пусть С – это класс эквивалентности отношения взаимной достижимости и отношения предпочтения, заданный с помощью матрицы доминирования и безразличия.

Всем элементам класса С присваивается номер от 1 до R. Рассмотрим матрицу - часть матрицы доминирования и безразличий соответствующая элементам класса С.

Силой n-го порядка i-го элемента называется число , а относительной силой n-го порядка i-го элемента называется число

При неограниченном возрастании n - относительная сила i-го элемента.

Вектор называется предельным вектором и является собственным вектором матрицы М соответствующим числу Перрона-Фробениуса. Наибольшее из неотрицательных собственных значений матрицы М есть число Перрона-Фробениуса.

3. Совмещение грубого и тонкого ранжирования.

Нормированный собственный вектор, соответствующий числу Перрона-Фробениуса не меняется при элементарных преобразованиях матрицы: умножение на положительное число; сложение с матрицей kE, где , E – единичная матрица.