Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится при x = x₀ ¹ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях |x| < |x₀|.

Следствие: Если ряд расходится при x = x₁, тоон расходится и при всех | x| > |x₁ |.

Из теоремы Абеля следует, что если x₀ ¹ 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (– |x₀ |; |x₀ |) весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях x вне этого интервала степенной ряд расходится.

Интервал (– |x₀ |; |x₀ |) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R = |x₀ | называется радиусом сходимости степенного ряда, т.е. при всех x, для которых | x| < R, ряд абсолютно сходится, а при | x| > R ряд расходится.

В частности, когда степенной ряд сходится лишь в одной точке x₀ = 0, то считается, что R = 0. Если же ряд сходится при всех значениях x Î R (т.е. во всех точках числовой оси), то считается, что R = ∞.

Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при x = R и при x = – R) сходимость ряда проверяется в каждом конкретном случае отдельно.

Согласно признаку Даламбера радиус сходимости степенного ряда определяется как , а согласно признаку Коши - R = 1 / .