Ряд Тейлора. Функцию f(x) можно представить в виде бесконечного степенного ряда, который называется рядом Тейлора

Функцию f(x) можно представить в виде бесконечного степенного ряда, который называется рядом Тейлора:

Частный случай этого ряда при a = 0 называется рядом Маклорена:

! Примеры: ,

Значение функции в точке x = b можно приближенно найти с помощью ограниченного ряда Тейлора (с помощью первых n членов) (формула Тейлора):

(1),

допустив при этом ошибку (остаточный член Лагранжа):

, (2)

где x - некоторое число, лежащее между a и b.

Коши доказал, что f(x) разлагается в ряд Тейлора, если .

@ Задача 3. Найти формулы для вычисления чисел e, и функции .

Решение: e и находятся с помощью формулы (1) и остаточного члена (2):

, ,

, .

Функция находится с помощью выражения для f(x) (формула (1), только вместо b нужно подставить x) и остаточного члена (2):

, .