Обратная матрица. Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если

Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если . Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю. Квадратная матрица , определитель которой не равен нулю, имеет единственную обратную матрицу

;

где – определитель матрицы ;

– алгебраическое дополнение элемента матрицы .

2. n -мерные векторы

2.1. Линейные операции над n -мерными векторами

В геометрии вектором в пространстве называется направленный отрезок. В фиксированной системе координат каждый вектор а однозначно определяется своими координатами:

, (1)

где называются координатами вектора a.

Если – какой-либо другой вектор, то

(2)

, (3)

где – число.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

Обобщим понятие вектора следующим образом: назовем последовательность n чисел n -мерным вектором. Число называется первой координатой вектора ; – второй координатой и т.д., а число n (количество координат) называется размерностью вектора а.

Если , , то

, .

Два n -мерных вектора:

, ,

считаются равными только тогда, когда равны их соответствующие координаты , ,…, .

Очевидно, что для любого вектора а:

, где .

Вектор называется нулевым.

Вектор (-1) называется противоположным вектору и обозначается , т.е. . Ясно, что и .

Так как операции над n-мерными векторами определяются через операции над их координатами, то свойства арифметических операций справедливы и для операций над векторами.

1. (сложение коммутативно).

2. (сложение ассоциативно).

3. ; (сложение дистрибутивно, где – некоторые вещественные числа).

2.2. Скалярное произведение и длина n -мерных векторов

Как известно из геометрии, если векторы а и заданы своими координатами и , то их скалярное произведение определяется по формуле:

По аналогии скалярным произведением n -мерных векторов , называется число .

Некоторые свойства произведения чисел справедливы и для скалярного произведения векторов:

1. .

2. , где число.

3. .

4. причем тогда и только тогда, когда (нулевой вектор).

Длиной n -мерного вектора называется число . Длина вектора обозначается .

Из 4-го свойства скалярного произведения векторов вытекает, что каждый -мерный вектор обладает длиной, причем нулевой вектор , является единственным вектором, длина которого равна нулю.

Если а и в -мерные векторы, то справедливы следующие числовые соотношения:

1) , -число

2) (неравенство Коши-Буняковского)

3) (неравенство треугольника)

Вектор называется нормированным, если его длина равна 1. Каждый вектор можно нормировать, т.е. умножить на число , чтобы вектор был нормированным.