Разложение вектора по системе векторов

Пусть дана система n - мерных векторов выбираем n – произвольных чисел .

Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .

Пусть теперь наряду с векторами дан еще n -мерный вектор . Будем говорить, что вектор линейно выражается через векторы , если он равен некоторой линейной комбинации векторов , т.е. найдется такой набор чисел , что

. (5)

В этом случае будем говорить также, что вектор разлагается по векторам . Числа называются коэффициентами разложения вектора по системе .

Разложение считается отличным от разложения (5), если различна хотя бы одна пара соответствующих коэффициентов разложения (т.е. хотя бы один ).

Справедливы следующие утверждения:

1. Нулевой вектор разлагается по каждой системе векторов

.

2. Если вектор разлагается по части системы векторов , то он разлагается и по всей системе векторов.

Предположим, что

, где ,

тогда .

3. Каждый -мерный вектор разлагается по диагональной системе - мерных векторов:

с коэффициентами, которые равны координатам вектора .

В самом деле

.

4. Если вектор разлагается по системе векторов , а каждый вектор этой системы разлагается по системе векторов , то вектор разлагается по системе векторов .

Из условия следует, что

После подстановки получаем:

Т.е. вектор разлагается по векторам .