Пусть дана система n - мерных векторов выбираем n – произвольных чисел .
Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .
Пусть теперь наряду с векторами дан еще n -мерный вектор . Будем говорить, что вектор линейно выражается через векторы , если он равен некоторой линейной комбинации векторов , т.е. найдется такой набор чисел , что
. (5)
В этом случае будем говорить также, что вектор разлагается по векторам . Числа называются коэффициентами разложения вектора по системе .
Разложение считается отличным от разложения (5), если различна хотя бы одна пара соответствующих коэффициентов разложения (т.е. хотя бы один ).
Справедливы следующие утверждения:
1. Нулевой вектор разлагается по каждой системе векторов
.
2. Если вектор разлагается по части системы векторов , то он разлагается и по всей системе векторов.
Предположим, что
, где ,
тогда .
3. Каждый -мерный вектор разлагается по диагональной системе - мерных векторов:
с коэффициентами, которые равны координатам вектора .
|
|
В самом деле
.
4. Если вектор разлагается по системе векторов , а каждый вектор этой системы разлагается по системе векторов , то вектор разлагается по системе векторов .
Из условия следует, что
После подстановки получаем:
Т.е. вектор разлагается по векторам .