Основные категории статистики 3 страница

Одним из важнейших направлений анализа рядов динамики является изучение особенностей развития явления за отдельные периоды времени. Для выявления специфики развития изучаемых явлений за отдельные периоды времени определяют абсолютные и относительные показатели изменения ряда в динамики: абсолютные приросты, абсолютное значение одного процента прироста, темп роста и прироста. Выяснение сущности этих показателей, их взаимосвязей, методов расчёта – необходимое условие усвоения данной темы.

Рассматривая данные показатели, необходимо правильно выбрать базу сравнения, которая зависит от цели исследования. При сравнении каждого уровня ряда с предыдущим получаются цепные показатели; при сравнении каждого уровня с одним и тем же уровнем (базой) получают базовые показатели.

Например, требуется провести анализ динамики продажи мясных консервов за 1993 – 1997 гг. Для удобства и наглядности исходные и рассчитанные показатели изложены в табличной форме (табл. 9)

Таблица 9

Динамика продажи мясных консервов в одном из регионов за 1993 –1997 гг. и расчет аналитических показателей динамики (данные условия)

Годы	Консервы мясные, млн усл. банок	Абсолютные приросты (снижение), млн усл. банок	Темпы роста, %	Темпы прироста, %	Абсолютноезначе­ние 1% прироста, млн.усл. банок
с предыдущим годом	с1993 г	с предыдущим годом	с 1993 г.	с предыдущим годом	с 1993г
А
							0,0
		-92	-92	90,04	90,4	-9,96	-9,96	9,24
		+634	+542	176,20	158,66	76,20	58,66	8,32
		+133	+675	109,07	173,05	9,07	73,05	14,66
		+13	+688	100,81	174,46	0,813	74,46	15,99
Итого		+688	-	-	-	-	-	-

Для выражения абсолютной скорости роста (снижения) уровня ряда динамики исчисляют статистический показатель – абсолютный прирост (D). Его величина определяется как разность двух сравниваемых уровней. Она вычисляется по формуле

или , (22)

где - уровень i –го года;

- уровень базисного года.

Например, абсолютное уменьшение продажи консервов за 1994г. по сравнению с 1993 г. составило: 832 – 924 = -92 млн усл. банок (табл. 9, гр. 2), а по сравнению с базисным 1993 г. продажа консервов в 1997 г. возросла на 688 млн усл. банок (гр.3).

Интенсивность изменения уровней ряда динамики оценивается отношением текущего уровня к предыдущему или базисному, которое всегда представляет собой положительное число. Этот показатель принято называть темпом роста (Т ). Он выражается в процентах, т.е.

или (23)

Так, для 1997г. темп роста по сравнению с 1993 г. составил = 174,5% (табл. 4.1, гр. 5).

Темп роста может быть выражен и в виде коэффициента (К ). В этом случае он показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше уровня базисного года или какую его часть он составляет.

Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах определяется темп прироста (Т ), который рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню, т. е.

или (24)

Темп прироста может быть вычислен также путём вычитания из темпов роста 100%, т.е. Т = Т - 100.

В нашем примере (табл. 4.1, гр.6,7) он показывает, например, на сколько процентов продажа консервов в 1997 г. возросла по сравнению с 1993 г.

= 74,5%, или 174,5 – 100 = 74,5%.

Показатели абсолютного значения одного процента прироста () определяется как результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста, выраженный в процентах, т.е. или 0,01*y . Расчёт этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе.

Для 1997 г. абсолютное значение 1% прироста (табл. 2.1, гр.8) равно: 0.01*

1599 или = 15,99 млн. усл. банок.

3.2 Исчисление среднего уровня ряда.

Особое внимание следует уделять методам расчёта средних показателей рядов динамики, которые являются обобщающей характеристикой его абсолютных уровней, абсолютной скорости и интенсивности изменения уровней ряда динамики. Различают следующие средние показатели: средний уровень ряда динамики, средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Методы расчёта среднего уровня ряда динамики зависят от его вида и способов получения статистических данных.

В интервальном ряду динамики с равноотстоящими уровнями во времени расчёт среднего уровня ряда () производиться по формуле средней арифметической простой:

(25)

В нашем примере средняя продажа мясных консервов за 5 лет составила:

млн усл. банок.

Если интервальный ряд динамики имеет неравноотстоящие уровни, то средний уровень ряда вычисляется по формуле

(26)

где t – число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется.

Для моментного ряда с равноотстоящими уровнями средняя хронологическая рассчитывается по формуле

(27)

где n – число уровней ряда.

Средняя хронологическая для разно отстоящих уровней моментного ряда динамики вычисляется по формуле

(28)

Определение среднего абсолютного прироста производится по цепным абсолютным приростам по формуле: или Среднегодовой абсолютный прирост продажи мясных консервов за 1993 – 1997 гг. равен: или млн. усл. банок

Среднегодовой темп роста высчитывается по формуле средней геометрической:

, или , (29)

где m – число коэффициент роста.

Среднегодовой темп роста продажи мясных консервов за 1993-1997гг. рассчитываем двумя способами:

или 114,9%;

или 114,9%.

Среднегодовой темп прироста получим, вычтя из среднего темпа роста 100%. В нашем примере

3.3 Приведение рядов динамики к сопоставимому виду.

При анализе рядов динамики иногда возникает необходимость смыкание рядов, т.е. объединение двух или более рядов, характеризующих изменение явления, в один ряд. Смыкание необходимо в случаях, когда уровни ряда несопоставимы в связи с территориальными или ведомственными, организационными изменениями, изменением методологии исчисления и т.п. Существует несколько способов приведения рядов динамики к сопоставимому виду. Например, имеются данные, характеризующие общий объём продукции промышленности в одном из регионов (в фактически действовавших ценах), млн. руб.:

Таблица 10

Годы Уровни Продукции промышленности
В старых границах региона В новых границах региона	21,6 -	22,3 -	22,5 -	22,6 25,3	- 26,1	- 27,0	- 28,7

Для приведения ряда динамики к сопоставимому виду для 1994 г. определим коэффициент соотношения уровней двух рядов:

Умножая на этот коэффициент уровни первого ряда, млн. руб.:

1991 г. – 21,6 ´ 1,12 = 24,2

1992 г. – 22,3 ´ 1,12 = 25,0

1993 г. – 22,5 ´ 1,12 = 25,2

Получен сопоставимый ряд динамики общего объёма продукции промышленности (в фактически действовавших ценах, в структуре и методологии соответствующих лет) в одном из регионов (в новых границах, млн. руб.):

Годы 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

24,2 25,0 25,2 25,3 26,1 27,0 28,7

Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем примере уровни 1994 г.), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера в старых и новых границах, т.е. 22,6 и 25,3) принимаются за 100%, а остальные – пересчитываются в процентах по отношению к 25,3). В результате получается сомкнутый ряд.

Применив этот способ для нашего примера, получим следующий ряд динамики, характеризующий общий объём продукции региона:

Таблица 11

Годы
Общий объём продукции в новых границах региона, (% к 1994 г.)	95,6	98,7	99,6	100,0	103,2	106,7	113,4

3.4 Выявление и характеристика основной тенденции развития ряда динамики.

Одной из задач анализа рядов динамики, является установление закономерностей изменения уровней изучаемого показателя во времени.

В некоторых случаях эта закономерность развития объёкта вполне ясно отображается уровнями динамического ряда. Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения. В подобных случаях для определения основной тенденции развития, достаточно устойчивой на протяжении данного периода, используют особые приёмы обработки рядов динамики.

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества длительных и кратковременных факторов, в том числе различных, случайных обстоятельств. В то же время выявление основной тенденции изменения уровня ряда предполагает её количественное выражение, которое свободно от случайных воздействий. Существуют различные методы выявления тенденции развития динамики. Одним из приёмов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Другой метод – метод скользящей средней. Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определённые периоды. Расчёт средних ведётся способом скольжения, т.е. постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего. Например, на основе данных о производстве стиральных машин фирмой за 15 месяцев 1996 – 1997 гг. нужно произвести сглаживание ряда методом трехчленной и четырёхчленной скользящей средней.

Таблица 12

Динамика производства стиральных машин и расчёт скользящих средних

Месяцы	Стиральные машины, тыс.шт.	Трёхчленные скользящие суммы	Трёхчленные скользящие средние	Четырёхчленные скользящие суммы	Четырёхчленные скользящие средние (не центрированные)	Четырёхчленные скользящие средние (центрированные)
		- -	- 161,7 153,7 152,0 145,3 145,0 140,7 134,3 137,7 142,3 153,0 155,3 152,3 154,0 -	- - -	- 154,0 154,8 150,8 141,5 145,0 137,5 135,8 143,0 146,8 151,5 154,0 155,5 - -	- - 154,4 152,8 146,2 143,3 141,3 136,7 139,4 144,9 149,2 152,8 154,8 - -

Взяв данные за первые три месяца, исчисляем трёхчленные суммы, а затем среднюю:

и т.д.

Интервал скольжения можно также брать чётный (четыре, шесть и т.д.). Нахождение скользящей средней по чётному числу членов осложняется тем, что средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами. Чтобы ликвидировать этот сдвиг, применяется центрирование, т.е. нахождение средней из средних для отнесения полученного уровня к определённой дате. При центрировании необходимо также находить скользящие суммы, скользящие средние по этим суммам и средние из средних. Пример сглаживания ряда методом четырёхчленной скользящей представлен в таблице (графы 4, 5, 6).

После сглаживания и центрирования основная тенденция стала вполне отчётливой. Кроме того, можно проследить и её характер, т.е. сначала значения уровней ряда снижаются, а затем возрастают.

Уменьшение числа звеньев скользящей средней по сравнению с числом исходных уровней ряда несколько сужает, конечно, возможности изучения характера выявленной тенденции в начале и в конце этапа развития. Тем не менее, скользящая средняя обладает достаточной гибкостью, позволяющей всё же уловить особенности изменения тенденции. Однако скользящая средняя не даёт аналитического выражения тренда.

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени: .

Модели для аналитического выравнивания рядов динамики имеют вид:

- линейная функция;

- парабола второго порядка;

- показательная функция.

Выбор формы тренда (вида кривой ) практически редко сделать на основе одного только содержательного анализа. Обычно на 1-м этапе выбора отбирают функции, пригодные с позиций содержательного анализа, а на 2-м этапе вид функции конкретизируется с помощью иных подходов и приёмов, имеющих эмпирический характер.

Наиболее простой эмпирический приём – визуальный: выбор форм тренда на основе графического изображения ряда – ломаной линии. В случае очень сильных и резких колебаний уровня целесообразно использовать график скользящей средней. Нередко, однако, ни график уровней, ни график скользящей средней не могут дать ответ об оптимальной форме тренда. В таких случаях целесообразен анализ цепных абсолютных приростов и темпов прироста (включая их сглаживание с помощью скользящей средней).

Если цепные абсолютные приросты относительно стабильны, не имеют отчётливой тенденции к росту или снижению, т.е. если уровень явления изменяется с достаточно постоянной абсолютной скоростью (D»const), то в качестве формы тренда нужно принять прямую линию (линейную функцию): . Если же относительно стабильными являются цепные темпы прироста, т.е. если уровень явления растёт с более или менее постоянной относительной скоростью (Т i» const), то в качестве формы тренда следует принять показательную кривую ().

В тех же случаях, когда цепные абсолютные приросты более или менее равномерно увеличиваются (или уменьшаются), т.е. если уровень ряда динамики изменяется с равномерно возрастающей (или убывающей) абсолютной скоростью, в качестве формы тренда (аппроксимирующей функции) можно принять параболу второй степени ().

После выбора вида кривой вычисляются её параметры. Расчёт параметров обычно производится методом наименьших квадратов. Это означает, что ставится и решается задача: из множества кривых данного вида найти ту, которая обращает в минимум сумму квадратов отклонений фактических уровней динамического ряда от соответствующих им во времени выровненных (расчётных) уровней, лежащих на искомой кривой:

, (30)

где yt – фактические, - выровненные (расчетные) уровни.

Рассмотрим технику выравнивания ряда динамики по прямой: . Параметры и искомой прямой, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся путём решения такой системы нормальных уравнений:

где t – время (порядковый номер интервала или момента времени).

Расчёт параметров значительно упрощается, если за начало отсчёта (t = 0) времени принять центральный интервал (или момент). При нечётном числе уровней значения t устанавливаются так, как это сделано в гр.2 табл. Если же количество уровней чётное, значения t будут такими (это равнозначно измерению времени не в годах, а в полугодиях):

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

-7 -5 -3 -1 1 3 5 7

В обоих случаях , так что система уравнений принимает вид и , откуда ; .

Проиллюстрируем выравнивание ряда динамики по прямой на следующем примере. В порядке первого приближения здесь можно принять линейную форму тренда.

Подставляем в формулу итоговые суммы из таблицы, получим:

.

Y1

Млн.т.

240 -

230 -

210 -

190 -

180

170

160 Фактические уровни

150-

0!!!!!!!!!!!!!!!

1985 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Х

Годы

Рисунок Производство мяса в районе

Отсюда уравнение искомой прямой таково:

Подставляя в это уравнение значение t из табл. 2.2, найдём выровненные (расчётные) уровни (см. гр. 5, таб. 2.2). Графическое изображение найденного тренда показано на рис.

Аналитическое выравнивание ряда динамики не только делает более чётким направление основной тенденции, но одновременно даёт также числовую её характеристику. В частности, при выравнивании по прямой параметр - это абсолютный прирост выровненного уровня за единицу времени , или средний абсолютный прирост с учётом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической прогрессии). Так, в нашем примере, =3 означает, что выровненный валовой сбор ежегодно увеличивался на 3 млн. т. или с учётом тенденции к равномерному росту сбор зерна в среднем ежегодно возрастал на эту величину.

При выравнивании ряда динамики по параболе второй степени () её параметры (при ) рассчитываются так:

; ; (31)

.

Абсолютная скорость роста выравненного уровня в этом случае с течением времени изменяется (она равна - первой производной по t).

Если производство мяса в районе выравнивать по параболе второй степени, то , а система уравнений (2.2) такова:

Таблица 13.

Расчётная таблица при выравнивании по прямой и по параболе ряда динамики производства мяса в районе.

Год	Мясо в убойном весе, тыс.т.	Обозначение времени t	yt		Выравненные (расчётные) уровни
		-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1	-1197 -888 -850 -648 -561 -362 -168		163,7 166,7 169,7 172,7 175,7 178,7 181,7 184,7 187,7 190,7 193,7 196,7 199,7 202,7 205,7
Итого					2770,5

Это даёт: . Следовательно, уравнение параболы таково: . Подставляя в него значения t, найдём выравненные уровни. Так, для 1985 г. (t = -7) получим: = 189,5+3´(-7)-0,26´49 = 155,9 и т.д. (см.табл.14 и рис.).

Средняя скорость изменения уровня (как и для прямой) здесь 3 млн. т., а ежегодное её уменьшение, т.е. замедление, равно 0,52 млн. т. Следовательно, найденная парабола характеризует замедленный рост.

Отклонение фактических уровней ряда динамики от выравненных (расчётных) используются для характеристики колеблемости фактических уровней около тренда. Абсолютным показателем этой колеблемости является среднее квадратическое отклонение:

. (32)

Относительной мерой колеблемости является модифицированный коэффициент вариации:

. (33)

В нашем примере колеблемость производства мяса около линейного тренда составляет 23,2 тыс. т., или 12,6%, а около параболического тренда – 22,8 тыс. т., или12,4% (расчёт сумм квадратов остаточных отклонений показан в табл.2.3).

Суммы квадратов остаточных отклонений можно также использовать для выбора формы тренда с помощью статистических критериев. В качестве грубого критерия иногда применяют сумму квадратов отклонений скорректированные на числа степеней свободы: , где n - число уровней, m -число параметров тренда. Выбирается тот тренд, для которого меньше. Однако более надёжные результаты даёт использование