Основные категории статистики 4 страница

F -критерия Фишера, основанного на процедуре проверки гипотез. Проверяется нулевая гипотеза о том, что уменьшение за счёт включения в уравнение тренда члена статистически незначимо. Нами разработана основная на критерии F таблица, в которой приведены критические значения величины , где и - суммы квадратов остаточных отклонений соответственно для линейного тренда и параболы второй степени. Если эмпирическое значение k больше табличного, то нулевая гипотеза отклоняется при данном уровне значимости a, т.е. параболический тренд предпочтительнее, чем линейный. Если же фактическое значение k меньше табличного, то нулевая гипотеза не отклоняется, т.е. следует предпочесть линейный тренд.

Таблица 14

Расчёт сумм квадратов остаточных отклонений

Год	Линейныйтренд	Параболический тренд
		7,3 -18,7 0,3 -10,7 11,3 2,3 -13,7 8,3 -50,7 30,3 -0,7 37,3 -23,7 -16,7	53,29 349,69 0,09 114,49 127,69 5,29 187,69 1466,89 68,89 2570,49 918,09 0,49 1391,29 561,69 271,89	155,9 162,3 168,1 173,4 178,3 182,5 186,3 189,5 192,3 194,5 196,2 197,4 198,1 198,3 197,9	15,1 -14,3 1,9 -11,4 8,7 -1,5 -18,3 33,5 3,7 -54,5 27,8 -1,4 38,9 -19,3 -8,9	228,01 204,49 3,61 129,96 75,69 2,25 334,89 1122,25 13,69 2970,25 772,84 1,96 1513,21 372,49 79,21
Итого		0,5	8094,95	2770,0		7824,80

Критические значения .

	10,26	4,38	2,93	2,32	2,00	1,80	1,67	1,57	1,50	1,44	1,40	1,36
	25,26	7,87	4,51	3,26	2,65	2,28	2,05	1,88	1,76	1,67	1,60	1,54

В нашем примере , что меньше табличного k (для n = 15) и при , (1,60), при , (1,40). Поэтому можно считать, что линейный тренд предпочтительнее параболы второй степени (криволинейность не улучшает форму тренда).

Тесты

1. Средний уровень интервального ряда динамики определяется по формуле:

а) средней гармонической;

б) средней арифметической простой;

в) средней кронологической;

г) средней ариметической взвешенной.

2. По времени, отраженному в динамических рядах они разделяются на:

а) статистические и частотоные;

б) гармонические и интегральные;

в) дискретные и интервальные;

г) интервальные имоментные.

3. Приемом обнаружения общей тенденции развития не является:

а) метод скользящей средней;

б) аналитическое выравнивание ряда динамики;

в) приведение рядов динамики к одному основанию;

г) укрупнение интервалов.

4. Средный уровен моментного ряда динамиаи определяется по формуле:

а) средней гармонической взвешенной;

б) средней хронологической;

в) средней арифметической простой.

Тема 4. Экономические индексы

Введение

Экономический индекс - это относительная величина, которая характеризует изменение исследуемого явления во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым эталоном (планируемым, нормативным уровнем и т. п.). Если в качестве базы сравнения используется уровень за какой-либо предшествующий период - получают динамический индекс; если же базой является уровень того же явления по другой территории - территориальный индекс. Индексы являются незаменимым инструментом исследования в тех случаях, когда необходимо сравнить во времени или в пространстве две совокупности, элементы которых являются несоизмеримыми величинами.

Изучение данной темы должно базироваться на знании предшествующих разделов курса, особенно тем “Формы выражения статистических показателей” и “Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений”.

Цели

Изучив эту тему, вы:

- поймете, что такое индексный метод;

- научитесь применять индексный метод для анализа;

- на примерах изучите способы расчета индексов; индексов цен, физического объема, себестоимости продукции и т.д.;

- сможете самостоятельно рассчитывать индексы инфляции и приводить к «неизменным ценам» свои доходы, курсы валют, и т.п.

4.1 Индивидуальные индексы и сводные индексы в агрегатной форме.

Простейшим показателем, используемым в индексном анализе, является индивидуальный индекс, который характеризует изменение во времени (или в пространстве) отдельных элементов той или иной совокупности. Так, индивидуальный индекс цены рассчитывается по формуле

(34)

где P ₁ - цена товара в текущем периоде;

P ₀ - цена товара в базисном периоде.

Например, если цена товара А в текущем периоде составляла 90 руб., а в базисном 75 руб., то индивидуальный индекс цены

, или 120,0%

В данном примере цена товара А возросла по сравнению с базисным уровнем в 1,2 раза, или на 20%.

Оценить изменение объемов продажи товара в натуральных единицах измерения позволяет индивидуальный индекс физического объема реализации:

(35)

где q ₁ - количество товара, реализованное в текущем периоде;

q ₀ - количество товара, реализованное в базисном периоде.

Изменение объема реализации товара в стоимостном выражении отражает индивидуальный индекс товарооборота:

(36)

Индивидуальные индексы, в сущности, представляют собой относительные показатели динамики или темпы роста и по данным за несколько периодов времени могут рассчитываться в цепной или базисной формах.

Сводный индекс - это сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из непосредственно несоизмеримых элементов. Исходной формой сводного индекса является агрегатная.

При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. Рассмотрим пример с розничными ценами. Цены различных товаров, реализуемых в розничной торговле, складывать неправомерно, однако с экономической точки зрения вполне допустимо суммировать товарооборот по этим товарам. Если мы сравним товарооборот в текущем периоде с его величиной в базисном периоде, то получим сводный индекс товарооборота:

(37)

На величину данного индекса оказывают влияние как изменение цен на товары, так и изменение объемов их реализации. Для того чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне. При исследовании динамики таких показателей, как цена, себестоимость, производительность труда, урожайность, количественный показатель обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким способом получают сводный индекс цен (по методу Пааше)[1]:

(38)

Числитель данного индекса содержит фактический товарооборот текущего периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне. Поэтому соотношение этих двух категорий и отражает имевшее место изменение цен.

Третьим индексом в данной индексной системе является сводный индекс физического объема реализации. Он характеризует изменение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения:

(39)

Весами в данном индексе выступают цены, которые фиксируются на базисном уровне.

Между рассчитанными индексами существует следующая взаимосвязь:

(40)

Пример. Имеются следующие данные о реализации плодово-ягодной продукции в области (табл. 15).

Таблица 15

Реализация плодово-ягодной продукции в городе

Наименова­ние товара	Июль	Август	Расчетные графы, руб.
цена за 1 кг, руб. p0	продано, т q0	Цена за 1 кг, руб. p1	Продано, т q1	p0q0	p1q1	p0q1
Черешня
Персики
Виноград
Итого	X	X	X	X

Рассчитать индекс товарооборота.

Решение.

, или 94,8%

Мы получили, что товарооборот в целом по данной товарной группе в текущем периоде по сравнению с базисным уменьшился на 3,1% (100 - 96,9)). Отметим, что объем товарной группы при расчете этого и последующих индексов значения не имеет.

Вычислим сводный индекс цен:

, или 93.7%

По данной товарной группе цены в августе по сравнению с июлем в среднем снизились на 10,8%.

Числитель и знаменатель сводного индекса цен можно интерпретировать с точки зрения потребителей. Числитель представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за приобретённые в текущем периоде товары. Знаменатель же показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары, если бы цены не изменились.

Разность числителя и знаменателя будет отражать величину экономии (если знак “-”) или перерасхода (“+”) покупателей от изменения цен:

тыс. руб.

Индекс физического объема реализации составит:

, или 101.2%.

Физический объем реализации (товарооборота) увеличился на 8,6%.

Используя взаимосвязь индексов, проверим правильность вычислений:

, или 94.8%.

Мы рассмотрели применение агрегатных индексов в анализе товарооборота и цен. При анализе результатов производственной деятельности промышленного предприятия приведенные выше сводные индексы соответственно называются индексом стоимости продукции, индексом оптовых цен и индексом физического объема продукции.

Рассмотрим применение индексного метода в анализе изменения затрат на производство и себестоимости продукции.

Индивидуальный индекс себестоимости характеризует изменение себестоимости отдельного вида продукции в текущем периоде по сравнению с базисным:

, (41)

Для определения общего изменения уровня себестоимости нескольких видов продукции, выпускаемых предприятием, рассчитывается сводный индекс себестоимости. При этом себестоимость взвешивается по объему производства отдельных видов продукции текущего периода:

, (42)

Числитель этого индекса отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель - условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числителя и знаменателя показывает сумму экономии предприятия от снижения себестоимости:

, (43)

Сводный индекс физического объема продукции, взвешенный по себестоимости, имеет следующий вид:

, (44)

Третьим показателем в данной индексной системе является сводный индекс затрат на производство:

, (45)

Все три индекса взаимосвязаны между собой:

, (46)

Еще одна область применения индексного метода - анализ изменений в производительности труда. При этом возможны два подхода к расчету индексов. Первый подход основан на учете количества продукции, вырабатываемого в единицу времени (w). При таких расчетах необходимо решить ряд методологических проблем - какой именно показатель продукции использовать, как оценивать продукцию работников сферы услуг и пр.

При втором подходе производительность труда определяется затратами рабочего времени на единицу продукции (t). На практике эти расчеты также сопряжены с определенными трудностями, так как не всегда имеется возможность оценить вклад конкретного работника в производство того или иного изделия.

Количество продукции, вырабатываемое в единицу времени (в натуральном выражении), и затраты времени на единицу продукции взаимосвязаны между собой:

(47)

Например, если работник на каждое изделие затрачивает 15 мин. (t = 0,25 ч), то за час его в

выработка составит 4 изделия. Отметим, что выработка может измеряться не только в натуральном, но и в стоимостном выражении (pq).

Индивидуальные индексы производительности труда, основанные на этих показателях, имеют следующий вид:

Где Т - суммарные затраты времени на выпуск данной продукции в человеко-часах, человеко-днях, или человеко-месяцах (в последнем случае соответствует общей численности работников).

Трудоемкость является обратным показателем, поэтому снижение трудоемкости в текущем периоде по сравнению с базисным свидетельствует о росте производительности труда.

Располагая данными о трудоемкости различных видов продукции и объемах их производства. Можно рассчитать сводный индекс производительности труда (по трудоемкости:

(48)

Знаменатель этого индекса отражает реально имевшие место общие затраты.

Знаменатель этого индекса отражает реально имевшие место общие затраты времени на выпуск всей продукции в текущем периоде (Т1).Числитель представляет собой условную величину, показывающую, какими были затраты времени на выпуск этой продукции, если бы трудоемкость не изменилась.

Пример. По данным табл.16 измерим рост производительности труда на предприятии Х.

Таблица 16.

Вид Продукции	Затраты времени на 1 изделие, чел.-ч	Произведено, штук.	Расчетные графы, чел.-ч.
	Январь t0	Февраль t1	Январь q0	Февраль q1	t0q1	t1q1
Изделие А	1,0	0,9			450,0	405,0
Изделие Б	1,2	1,0			388,8	324,0
Изделие В	0,9	0,8			676,8	601,6
Итого	*	*	*	*	1515,6	1330,6

Рассчитать сводный индекс производительности труда по трудоемкости.

Решение.

, или 113,9%

Мы получили что прирост производительности труда в целом по предприятию составил 13,9%.

Индекс производительности труда по трудоемкости связана с индексом затрат рабочего времени (труда) и с индексом физического объема продукции, взвешенным по трудоемкости:

Iw*I_T=Iq (49)

или

(50)

При расчете сводного индекса производительности труда в стоимостном выражении (по выработке) необходимо количество продукции, произведенной за каждый период, взвесить по каким -либо ценам принятым за сопоставимые. В качестве сопоставимых могут выступать цены текущего, базисного или какого-либо другого периода или средние цены.

Индекс в этом варианте рассчитывается по формуле:

. (51)

Первая часть этой формулы представляет собой среднюю выработку в отчетном периоде, вторая часть - в базисном.

Пример. Предположим, имеются следующие данные о производстве продукции и отпускных ценах предприятия А (табл. 17).

Таблица 17

Вид продукции	Сентябрь	Октябрь	Отпускная цена, руб. p	Расчетные графы, руб.
Произве­дено, шт. q0	Трудовые затраты, чел.-ч T0	произведено, шт. q1	трудовые затраты, чел.-ч T1	q0p	q1p
Изделие А
Изделие Б
Изделие В
Итого	X		X		X

Вычислить индекс производительности труда. Решение.

или 102,2%.

Итак, в текущем периоде за 1 чел.-ч вырабатывалось 65,8 руб. продукции, а в базисном — 64,4 руб. Прирост производительности труда составил 2,2%.

Умножение индекса производительности труда по выработке на индекс затрат рабочего времени приводит к индексу физического объема продукции, взвешенному по цене:

(52)

4.2. Сводные индексы в средней арифметической и средней гармонической формах.

В ряде случаев на практике вместо индексов в агрегатной форме удобнее использовать средние арифметические и средние гармонические индексы. Любой сводный индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов. Однако при этом форму средней нужно выбрать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождествен исходному агрегатному индексу.

Предположим, мы располагаем данными о стоимости проданной продукции в текущем периоде (p₁q₁) и индивидуальными индексами цен полученными, например, в результате выборочного наблюдения. Тогда в знаменателе сводного индекса цен можно использовать следующую замену:

, (53)

Таким образом, сводный индекс цен будет выражен в форме средней гармонической из индивидуальных индексов:

(54)

Пример. По данным табл. 18 получите сводную оценку изменения цен.

Таблица 18

Реализация овощной продукции

Товар	Реализация в текущем периоде, руб. p1q1	Изменение цен в текущем перио­де по сравнению с базисным, % i • 100%-100%	Расчетные графы
ip
Морковь Свекла Лук		+4,0 +2,3 -0,8	1,040 1,023 0,992
Итого		X	X

Решение. Вычислим средний гармонический индекс:

, или 101,6%

Цены по данной товарной группе в текущем периоде по сравнению с базисным в среднем возросли на 1,6%.

При расчете сводного индекса физического объема товарооборота можно использовать среднюю арифметическую форму. При этом в числителе производится замена:

q₁ = i_qq₀.

Тогда индекс примет вид:

.

Пример. Предположим, в нашем распоряжении имеются следующие данные (табл. 19).

Таблица 19

Реализация товаров в натуральном и стоимостном выражениях

Товар	Реализация в базисном периоде, руб. q0p0	Изменение физического объема реализации в текущем периоде по сравнению с базисным, % iq × 100% - 100%	Расчетные графы
iq	iq × q0p0
Мандарины		-6,4	0,936
Грейпфрукты		-8,2	0,918
Апельсины	51 000	+1,3	1,013	51 663
Итого		X	X

Рассчитать средний арифметический индекс. Решение.

, или 96,4%.

Физический объем реализации данных товаров в среднем снизился на 3,6%.

В средней арифметической форме также может рассчитываться и индекс производительности труда по трудоемкости, известный как индекс С. Г. Струмилина:

. (55)

Г. Базисные индексы цен с постоянными весами:

; ; ; ….; .

4.3 Индексы постоянного и переменного состава.

Все рассмотренные выше индексы рассчитывались по нескольким товарам, реализуемым в одном месте, или видам продукции, производимым на одном предприятии. Рассмотрим теперь случай, когда один товар реализуется в нескольких местах или вид продукции производится на ряде предприятий.

Если реализуется только один вид продукции, вполне правомерно рассчитать его среднюю цену в каждом периоде. Индекс переменного состава представляет собой отношение двух полученных средних значений:

, (56)

Данный индекс характеризует не только изменение индивидуальных цен в местах продажи, но и изменение структуры реализации по предприятиям розничной или оптовой торговли, рынкам, городам и регионам. Для оценки воздействия этого фактора рассчитывается индекс структурных сдвигов:

, (57)

Последним в данной системе является рассмотренный выше индекс цен фиксированного состава, который не учитывает изменение структуры:

, (58)

Между данными индексами существует следующая взаимосвязь:

, (59)

Пример. Проведем анализ изменения цен реализации товара А в двух регионах (табл. 20).

Таблица 20

Реализация товара А в двух регионах

Регион	Июнь	Июль	Расчетные графы, руб.
Цена, руб. p0	продано, шт. q0	цена, руб. p1	продано, шт. q1	P0q0	p1q1	p0q1
				23000 12000			414000 288000
Итого	X		X			749 000	702 000

Вычислим индекс цен переменного состава:

, или 98,5%.

Из таблицы 4.6 видно, что цена в каждом регионе в июле по сравнению с июнем возросла. В целом же средняя цена снизилась на 1,5 % (98,5 - 100). Такое несоответствие объясняется влиянием изменения структуры реализации товаров по регионам: в июне по более высокой цене продавали товара вдвое больше, в июле же ситуация принципиально изменилась.

Рассчитываем индекс структурных сдвигов:

Первая часть этого выражения позволяет ответить на вопрос, какой была бы средняя цена в июле, если бы цены в каждом регионе сохранились на прежнем июньском уровне. Вторая часть отражает фактическую среднюю цену июня. В целом по полученному значению индекса мы можем сделать вывод, что за счет структурных сдвигов цены снизились на 7,7%.

Рассчитанный индекс цен фиксированного состава равен 1,067 или 106,7%. Отсюда следует вывод: если бы структура реализации товара А по регионам не изменилась, средняя цена возросла бы на 6,7%. Однако влияние на среднюю цену первого фактора оказалось сильнее, что отражается в следующей взаимосвязи: