Модель замкнутой СМО

До сих пор были рассмотрены такие модели, где заявки приходили откуда-то извне, и интенсивность потока заявок не зависела от состояния самой системы. В данном параграфе будут рассмотрены такие системы, в которых интенсивность потока поступающих заявок зависит от состояния самой системы. Такие системы массового обслуживания называются замкнутыми.

В качестве примера замкнутой СМО рассмотрим следующую систему. Рабочий-наладчик обслуживает п станков. Каждый станок может в любой момент выйти из строя и потребовать обслуживания со стороны наладчика. Интенсивность потока неисправностей каждого станка равна λ. Вышедший из строя станок останавливается. Если в этот момент рабочий свободен, он берется за наладку станка; на это он тратит среднее время

,

где μ – интенсивность потока обслуживания (наладок).

Если в момент выхода станка из строя рабочий занят, станок становится в очередь на обслуживание и ждет, пока рабочий не освободится.

Требуется найти вероятности состояний данной системы и ее характеристики:

· вероятность того, что рабочий не будет занят,

· вероятность наличия очереди,

· среднее число станков, ожидающих очереди на ремонт и т. д.

Перед нами — своеобразная система массового обслуживания, где источниками заявок являются станки, имеющиеся в ограниченном количестве и подающие или не подающие заявки в зависимости от своего состояния: при выходе станка из строя он перестает быть источником новых заявок. Следовательно, интенсивность общего потока заявок, с которым приходится иметь дело рабочему, зависит от того, сколько имеется неисправных станков, т. е. сколько заявок связано с процессом обслуживания (непосредственно обслуживается или стоит в очереди).

Характерным для замкнутой системы массового обслуживания является наличие ограниченного числа источников заявок.

В сущности, любая СМО имеет дело только с ограниченным числом источников заявок, но в ряде случаев число этих источников так велико, что можно пренебречь влиянием состояния самой СМО на поток заявок. Например, поток автомобилей на станцию СТО в крупном городе, в сущности ограничен, но это число так велико, что практически можно считать интенсивность потока заявок независимой от состояний самой СТО (сколько постов занято в данный момент). В замкнутой же системе массового обслуживания источники заявок, наряду с каналами обслуживания, рассматриваются как элементы СМО.

Рассмотрим сформулированную выше задачу о рабочем-наладчике в рамках общей схемы марковских процессов.

Система, включающая рабочего и п станков, имеет ряд состояний, которые мы будем нумеровать по числу неисправных станков (станков,

связанных с обслуживанием)

S₀ — все станки исправны (рабочий свободен);

S₁ — один станок неисправен, рабочий занят его наладкой;

S₂ — два станка неисправны, один налаживается, другой ожидает очереди;

................................................

S_n. — все п станков неисправны, один налаживается, п — 1 стоят

в очереди.

Рис. 5.5. Граф состояний замкнутой СМО с одним рабочим (обслуживающим механизмом)

Граф состояний приведен на рис. 5.5. Интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние, проставлены у стрелок. Из состояния S₀ в S₁, систему переводит поток неисправностей всех работающих станков; его интенсивность равна пλ. Из состояния S₁ в S₂ а систему переводит поток неисправностей уже не n, а п - 1 станков (работают всего п - 1) и т. д. Что касается интенсивностей потоков событий, переводящих систему по стрелкам справа налево, тоони все одинаковы— работает все время один рабочий с интенсивностью обслуживания μ.

Пользуясь, как обычно, общим решением задачи о предельных вероятностях состояний для схемы гибели и размножения, вероятности состояний будут:

вероятность того, что рабочий свободен (все станки исправны):

; (5.41)

вероятности того, что какое-то число станков неисправно:

один станок неисправен): ; (5.42)

два станка неисправно (1 из них в ремонте, 1 в очереди):

; (5.43)

n станков неисправно (1 в ремонте, n-1 в очереди):

; (5.44)

вероятность того, что рабочий занят:

P_зан=1-P₀; (5.45)

абсолютная пропускная способность (среднее количество неисправностей, устраняемых рабочим в единицу времени):

A=(1-P₀)μ; (5.46)

вероятность того, что рабочий свободен:

P_своб=1-P_зан=P₀; (5.47)

среднее число неисправных станков:

; (5.48)

среднее число станков, ожидающих наладки в очереди:

; (5.49)

потеря производительность группы станков:

L= · l, (5.50)

где l – производительность одного исправного станка.

Пример 1. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем 2 раза в час. Процесс наладки занимает у рабочего в среднем 10 минут. Определить характеристики замкнутой СМО: вероятность занятости рабочего, его абсолютную пропускную способность А; среднее количество неисправных станков; среднюю относительную потерю производительности группы станков за счет неисправностей.

Решение.

станков/час.

По формуле (5.41)

.

Вероятность занятости рабочего:

P_зан=1-Р₀= 0,654.

Абсолютная пропускная способность (среднее количество неисправностей, которое он ликвидирует в час):

A= 0,654 · 6=3,94 станка/час.

Среднее число неисправных станков:

станка.

Средняя относительная потеря производительности группы станков за счет неисправностей / n = 0,347, т.е. за счет неисправностей группа станков теряет около 35% производительности.

Рассмотрим теперь более общий пример замкнутой СМО: бригада из m рабочих обслуживает n станков (m<n). Перечислим состояния системы.

S₀ – все станки работают, рабочие не заняты;

S₁ – один станок остановился, один рабочий занят;

S₂ – два станка остановились, два рабочих заняты;

...........................................

S_m – m станков остановились;

S_m+1 – m+ 1 станков остановились, m из них налаживаются, один ждет очереди;

S_n – все n станков остановились, m из них налаживаются, n-m ждут очереди.

Рис. 5.6. Граф состояний замкнутой СМО с несколькими рабочими (обслуживающими аппаратами)

Соответственно формулы для нахождения характеристик эффективности для многоканальной системы будут:

вероятность того, что все рабочие свободны (все станки исправны):

(5.51)

вероятности того, что какое-то число станков неисправно:

один станок неисправен (занят один рабочий):

; (5.52)

два станка неисправно (занято двое рабочих):

; (5.53)

три станка неисправно (занято трое рабочих):

; (5.54)

m станков неисправно (заняты все m рабочих):

; (5.55)

m+1 станков неисправно (m в ремонте 1 в очереди):

; (5.56)

m+2 станка неисправно (m в ремонте 2 в очереди):

; (5.57)

все n станков неисправно (m в ремонте n-m в очереди):

; (5.58)

среднее число занятых рабочих:

M[m] (5.59)

абсолютная пропускная способность:

A= · μ; (5.60)

среднее число неисправных станков:

. (5.61)

Пример 2. Два рабочих обслуживают группу из шести станков. Остановки каждого (работающего) станка случаются, в среднем, через каждые полчаса. Процесс наладки занимает у рабочего в среднем 10 минут. Определить характеристики замкнутой СМО:

среднее число занятых рабочих;

абсолютную пропускную способность;

среднее количество неисправных штанов.

Решение.

станков/час;

P₁= 6/1 · 1/3 · 0,153=0,306.

Определяем среднее число занятых рабочих:

.

Находим абсолютную пропускную способность:

A =1,235 · 6 = 7,41 станков/час.

Задача 1. Комплексное АТП имеет в своем распоряжении 10 автомобилей. Интенсивность поломок одного автомобиля в среднем 1 раз в 12 дней. На предприятии имеется зона ремонта с двумя постами. Среднее время ремонта одного автомобиля равно 5 часов. Определить характеристики функционирования системы если известно, что предприятие имеет 8-ми часовой рабочий день при 6-ти дневной рабочей неделе.

Задача 2. Торговая фирма имеет 5 постоянных клиентов. Каждый клиент, в среднем раз в неделю делает заказ на покупку товара. Время оформления заказа и доставка товара одному клиенту, в среднем составляет 2 дня. Вероятность того, что клиент закажет товара на сумму более 5000 у.е. равна 0,6. Определить минимальный доход, который может получить торговая фирма за месяц, если у нее в наличии имеется только два транспортных средства по доставке товара, причем каждое из них одновременно может доставлять товар только одному клиенту.

Задача 3. Автотранспортное предприятие имеет зону ТР с 3 постами. Среднесписочное количество автомобилей на предприятии – 8. Каждый автомобиль, в среднем в день, проезжает 170 км. Параметр потока отказов равен 0,9 отк./1000км. Среднее время ремонта одного автомобиля составляет 10 часов. Определить характеристики функционирования предприятия как СМО, коэффициент технической готовности парка.