double arrow

Вычисление координат точек замкнутого теодолитного хода

Исходными данными для обработки замкнутого теодолитного хода являются координаты начальной точки X1, Y1 и дирекционный угол начальной линии хода α1,2 (рисунок 11.1). Эти исходные данные определяются по результатам привязки теодолитного хода к пунктам государственной геодезической сети или выбираются независимо в условной системе координат.

В соответствии с исходными данными и результатами полевых измерений углов β и длин сторон d необходимо вычислить координаты других точек замкнутого теодолитного хода (2–6). Обработка результатов полевых измерений ведется в следующей последовательности:

1. Уравнивание углов замкнутого теодолитного хода.

Из геометрии известно, что сумма внутренних углов замкнутого многоугольника

Σβтеор = 180о(n – 2), (11.1)

где n – число вершин многоугольника.

Например, в шестиугольнике (n = 6)

Σβтеор = 180о(6 – 2) = 180о ? 4 = 720о.

Эту сумму углов называют теоретической. Определяют практическую сумму измеренных горизонтальных углов хода и для контроля сравнивают ее с теоретической. Вследствие неизбежных погрешностей, которые возникают при измерении углов, сумма измеренных углов замкнутого теодолитного хода не будет точно равна теоретической.

Разность между практической и теоретической суммами углов называют угловой невязкой хода и обозначают fβ:

fβ = Σβпр – Σβтеор. (11.2)

В теории погрешностей доказывается, что угловая невязка не должна быть больше предельной величины, которую называют допустимой невязкой, т. е.

fβ доп = ± 1,5t √ n, (11.3)

где t – точность отсчетного устройства теодолита;

n – число углов в теодолитном ходе.

Например, в теодолите Т-30 t = 1' и формула (11.3) примет вид

fβ доп = ± 1,5' √ n. (11.4)

Для точных теодолитов (2Т5К, 3Т5К) допустимую угловую невязку вычисляют по более жесткой формуле

fβ доп = 1' √ n. (11.5)

Невязка в углах может получиться недопустимой только в результате грубых просчетов при измерении углов или при вычислении их в журнале. Если невязка допустима, то ее распределяют с обратным знаком поровну на все углы теодолитного хода, т. е. вводят поправки в измеренные углы:

Vβ = – (fβ / n). (11.6)

С учетом поправок вычисляют исправленные углы:

βиспр = β + Vβ. (11.7)

Сумма исправленных углов должна быть равна теоретической сумме углов:

Σβиспр = Σβтеор. (11.8)

Эти действия по распределению невязки в углах, вычислению поправок и исправлению углов называются уравниванием углов теодолитного хода.

2 Вычисление дирекционных углов сторон замкнутого теодолитного хода.

После уравнивания углов приступают к вычислению дирекционных углов сторон теодолитного хода. В замкнутом теодолитном ходе измеряют обычно внутренние углы β1, β2, β3, …, β6, лежащие вправо по ходу, их называют правыми углами (см. рисунок 11.1). Если начальный дирекционный угол α1,2 из данных привязки неизвестен, то за него можно принять магнитный азимут, измеренный при помощи буссоли теодолита. Затем определяют дирекционные углы остальных линий теодолитного хода. Согласно рисунку 11.2

α2, 3 = α1, 2 + 180о – β2;

α3, 4 = α2, 3 + 180о – β3

и т. д., т. е. дирекционный угол последующей линии равен дирекционному углу предыдущей линии плюс 180о, минус правый угол, лежащий между этими линиями:

αпосл = αпред + 180о – βпр. (11.9)

Из рисунка 11.3 вытекает связь между левыми и правыми по ходу углами:

βпр = 360о – βлев. (11.10)

Подставив (11.10) в формулу (11.9) получим:

αпосл = αпред + 180о – (360о – βлев)

или

αпосл = αпред – 180о + βлев. (11.11)

То есть по формуле (11.11) можно определить дирекционные углы, если известны левые по ходу углы βлев. При получении по формулам (11.10) и (11.11) дирекционных углов больше 360о из них вычитают 360о.

Контролем правильности вычисления дирекционных углов в замкнутом теодолитном ходе является получение исходного (начального) дирекционного угла в конце вычислений (см. рисунок 11.2).

α1, 2 = α6, 1 + 180о – β1.

По вычисленным дирекционным углам определяют румбы сторон замкнутого теодолитного хода, используя формулы связи между дирекционными углами и румбами по четвертям.

3 Уравнивание приращений координат и вычисление координат замкнутого теодолитного хода.

Как известно из прямой геодезической задачи, приращения координат есть проекции стороны теодолитного хода на оси X и Y, которые определяются по формулам (рисунок 11.4):

(11.12)

ΔX = d cos α;

ΔY = d sin α.

Из аналитической геометрии известно, что сумма проекции сторон замкнутого многоугольника на его любую ось равна нулю, то есть можно записать:

ΣΔXтеор= 0;

ΣΔYтеор = 0.

Следовательно, для замкнутого теодолитного хода сумма всех приращений координат по осям ОХ и OY должна равняться нулю. Однако вследствие неизбежных погрешностей, которыми сопровождаются линейные и угловые измерения, практические суммы вычисленных приращений координат будут не равны нулю, т. е.

ΣΔXпр = fX;

ΣΔYпр = fY.

Величины fX и fY называются невязками в приращениях координат: fX –по оси ОХ, а fY – по оси OY. Невязки fX и fY являются следствием незамыкания теодолитного хода на величину 11' = f d, которую называют невязкой в периметре хода или линейной невязкой (рисунок 11.5).

Из прямоугольного треугольника 1,1', 1'' следует:

fd =√ fX2 + fY 2.

Относительная невязка не должна превышать в замкнутом ходе для благоприятной местности 1:2000, при неблагоприятных условиях измерений (высокая трава, пашня, пересеченная и холмистая территория) – 1:1000, которая, вычисляется по формуле

fотн = fd / Σd = 1 / (Σd / fd ),

где Σd – периметр хода, м.

Если это условие выполнено, невязки fX и fY распределяют с обратным знаком на приращения координат пропорционально длинам сторон, вычисляя их по формулам

VX i = – fX?di / Σd; VY i = – fY di / Σd.

Значения поправок округляют до сантиметров. Контролем правильности вычисления поправок будет выполнение равенств

ΣVX I = – fX; ΣVY I = – fY

С учетом найденных поправок определяют исправленные приращения координат

ΔXиспр = ΔX + VX; ΔYиспр = ΔY + VY.

Сумма исправленных приращений координат в замкнутом теодолитном ходе должна быть равна нулю, т. е.

ΣΔXиспр = 0; ΣΔYиспр = 0.

Эти действия по распределению невязок, вычислению поправок и исправленных приращений координат называют уравниванием приращений координат. По исправленным приращениям координат от точки с известными координатами последовательно вычисляют координаты вершин теодолитного хода, используя формулы прямой геодезической задачи:

(11.13)

Xпосл = Хпред + ΔХисп;

Yпосл = Yпред + ΔYиспр.

Контролем правильности вычислений является получение координат исходной (начальной) точки (Х1, Y1) замкнутого теодолитного хода.


Сейчас читают про: