2015-04-01
3879
Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями l и m соответственно; параллельно обслуживаться могут не более n клиентов. Система имеет n каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна 1/m.
Рис. 5.4. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием
Состояния системы будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:
S0 – все каналы свободны;
S1 – занят один канал, остальные свободны;
......................................
Sk – заняты k каналов, остальные свободны;
......................................
Sn – заняты все n каналов;
Sn+1 – заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди;
...............................................
Sn+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди;
......................................
Sn+m – заняты все n каналов, m заявок стоят в очереди.
По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью λ, по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживаний, интенсивность которого равна µ, умноженному на число занятых каналов.
Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: 
.
Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам.
Вероятность того, что все посты свободны:
при неограниченной длине очереди:
(5.24)
при длине очереди ограниченной числом m:
; (5.25)
вероятность отказа система (все посты заняты, все места в очереди заняты):
; (5.26)
вероятность того, что занято k постов и r постов ожидания:
; (5.27)
; (5.28)
среднее число заявок в очереди:
, (5.29)
где 
;
среднее число занятых каналов:
(5.30)
складывая среднее число заявок в очереди 
и среднее число занятых каналов 
, получим среднее число заявок, связанных с системой:
; (5.31)
среднее время ожидания заявки в очереди:
; (5.32)
средняя продолжительность пребывания заявки в системе:
tсист = 
+1/m.. (5.33)
Рассмотрим пример многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.
Пример. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих и мастерскую, - пуассоновский и имеет интенсивность l = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательному закону и равно tоб = 0,5 суток. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.
Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:
· вероятности состоянии системы;
· среднее число заявок в очереди на обслуживание;
· среднее число находящихся в системе заявок;
· среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;
· среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.
Решение
Так как 
то каждая заявка будет рано или поздно обслужена: Ротк=0, q=1,A=λq=λ.
1. Определим параметр потока обслуживаний
2. Приведенная интенсивность потока заявок
r = l / m = 2,5 / 2,0 = 1,25,
при этом l / (mn) = 2,5 / (2×3) = 0,41.
Поскольку l/(mn)<1, то очередь не растет безгранично, и в системе наступает предельный стационарный режим работы.
3. Вычислим вероятности состояний системы:
4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской
Pот.оч = P0 + P1 + P2 + P3» 0,285 + 0,356 + 0,223 + 0,092 = 0,987.
5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание при
.
6. Среднее число находящихся в системе заявок
.
7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание
Тож =0,113/2,5=0,0452 суток.
8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (системе)
Тсист= 0,0452+0,5=0,5452 суток.
Задача 1. Автозаправочная станция (АЗС) с двумя колонками (n = 2) предназначена для обслуживания машин. Поток машин, прибывающих на АЗС, имеет интенсивность λ = 2 (машины в минуту); среднее время обслуживания одной машины 2 мин.
Площадка у АЗС может вместить очередь не более m = 3 (машин). Машина, прибывшая в момент, когда все три места в очереди заняты, покидает АЗС (получает отказ). Найти характеристики СМО:
· вероятность отказа;
· относительную и абсолютную пропускную способности;
· среднее число занятых колонок;
· среднее число машин в очереди;
· среднее время ожидания и пребывания машины на АЗС.
Задача 2. Автозаправочная станция с четырьмя колонками обслуживает поток машин с интенсивностью λ = 0,8 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины 2,5 мин.
В данном районе нет другой АЗС, так что очередь машин перед АЗС может расти практически неограниченно. Найти характеристики СМО.
Задача 3. Определить оптимальное число постов зоны текущего ремонта, комплексного автотранспортного предприятия, если на каждом посту за смену можно отремонтировать два автомобиля, а потребность в ремонте - четыре автомобиля за смену. Известно, что затраты 1 часа простоя поста составляют 200 руб., 1 часа постоя техники – 450 руб., з/п рем. рабочих – 120 руб. в час. На каждом посту имеется по 1 слесарю.
Задача 4. Определить оптимальное число постов станции технического обслуживания если известно:
· вероятное изменение потока клиентов в течение года будет:
· среднее время обслуживания распределено по показательному закону и составляет: в летние месяцы – 4 часа на автомобиль, в зимние – 5,5 часов на автомобиль;
· известно, что средний оплата одного клиента составляет: летом – 550 руб. за услугу, зимой – 520 руб. за услугу;
· 1 час работы слесаря стоит 85 рублей;
· 1 час простоя поста составляет 130 руб.
· известно, что в среднем клиенты стоят в очереди не более 1,5 часов, потом уезжают.
