Многоканальная модель СМО с отказами

В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслуживающими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока l, при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется 1/m. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рис. 2.3.

Рис. 5.3. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояния данной СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ – все каналы свободны;

S₁ – занят один канал, остальные свободны;

S_k – заняты ровно k каналов, остальные свободны;

S_n – заняты все n каналов, заявка получает отказ в обслуживании.

Формулы для вычисления вероятностей P_k называются формулами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

вероятность того, что все посты свободны:

; (5.19)

вероятность отказа:

, (5.20)

так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все каналы заняты. Величина P_отк характеризует полноту обслуживания входящего потока;

вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же - относительная пропускная способность системы q) дополняет Р_отк до единицы:

; (5.21)

абсолютная пропускная способность:

A = lq; (5.22)

среднее число каналов, занятых обслуживанием следующее:

(5.23)

Величина M[n] характеризует степень загрузки СМО.

Пример. Пусть n -канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность l = 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания = 1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.

Требуется вычислить финальные значения:

· вероятности состояний ВЦ;

· вероятности отказа в обслуживании заявки;

· относительной пропускной способности ВЦ;

· абсолютной пропускной способности ВЦ;

· среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Решение

1. Определим параметр m. потока обслуживаний:

з/час

2. Приведенная интенсивность потока заявок

3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга (27):

4. Вероятность отказа в обслуживании заявки

P_отк = P₃ = 0,180.

5. Относительная пропускная способность ВЦ

q = 1 – Pотк = 1 – 0,180 = 0,820.

6. Абсолютная пропускная способность ВЦ

А = lq = 1×0,820 = 0,820. з/час.

7. Среднее число занятых каналов – ПЭВМ

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех - остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев (Р₃ = 0,180). Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных l и m можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число не обслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходила 0,0180. Для этого используем формулу (5.20):

Составим следующую таблицу:

n
Р0	0,357	0,226	0,186	0,172	0,167	0,166
Pотк	0,643	0,367	0,18	0,075	0,026	0,0078

Анализируя данные таблицы, следует отметить, что расширение числа каналов ВЦ при данных значениях l и m, 6 единиц ПЭВМ позволит обеспечить удовлетворение заявок на решение задач на 99,22%, так как при n = 6 вероятность отказа в обслуживании (P_отк) составляет 0,0078.

Задача 1. Исследуется работа станции технического обслуживания автомобилей с отказами. Станция имеет в своем распоряжении четыре подъемника. На станцию поступает простейший поток заявок с интенсивностью 3 автомобилей в час. Время обслуживания распределено по показательному закону и характеризуется средней продолжительностью 2 часа на автомобиль. Требуется построить граф состояний и определить числовые характеристики функционирования станции за восьмичасовой рабочий день.

Задача 2. В зону текущего ремонта в среднем поступает 8 единиц техники в день. Известно, что отказы распределены следующим образом: 35% – двигатель и трансмиссия, 40% –подвеска, 25% – прочие отказы. Зона в своем распоряжении имеет 3 поста, по одному на каждый вид отказа. Известно, что средняя продолжительность устранения отказов распределена так: двигатель и трансмиссия – 5 часов, подвеска – 3,5 часа, прочие отказы – 2 часа. Определить оптимальное число постов текущего ремонта с учетом того, чтобы отказов было не более 5%.

Задача 3. Исследуется функционирование станции мойки автомобилей, работающей с отказами. На станцию поступает простейший поток автомобилей с интенсивностью 3 автомобиля в час. Время обслуживания распределено по показательному закону и характеризуется временем равным 20 минут. Требуется определить число мест мойки, при котором только 8% машин получат отказы.