Геометрический смысл смешанного произведения

1) Абсолютная величина смешанного произведения векторов численно равна объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, т.е. Кроме того, │ объём треугольной пирамиды, построенной на векторах ,

2) Условие компланарности трёх векторов. Необходимым и достаточным условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения, т.е.

В координатной форме условие компланарности имеет вид:

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов заданных своими координатами:

1)

2)

3)

Решение.

1)

Геометрическое значение этого результата: данные векторы компланарны (п.2, п.3, п.4 – самостоятельно). (При вычислении определителя мы пользовались разложением его по элементам третьего столбца).

Ответ: 14.