Ответ: -6

Пример: Вычислить определитель третьего порядка

Дана матрица размером 3х3;

Что бы вычислить определитель матрицы 3х3 нужно воспользоваться формулой;

=

Подставляем наши значения в формулу;

Ответ: -642

Пример: Вычислить определитель четвертого порядка

Дана матрица размером 4х4;

Есть два способа вычисления определителя матрицы:

1. По определению - через разложение по строке или столбцу;

2. По методу Гаусса - приведение матрицы к треугольному виду (этот способ лучше использовать для решения матриц, размером 4х4 и более).

Решим пример первым способом (по определению - через разложение по строке или столбцу)

Чтобы вычислить определитель матрицы, нужно воспользоваться следующей формулой, в ней рассмотрен пример разложения матрицы по первой строке;

Итак, начнём

1. Выбираем строку или столбец (любую), лучше всего выбирать строку или столбец, где больше нулей, для удобства вычисления;

В данном случае мы выбираем третью строку, так как в ней присутствует ноль;

2. Берём первый элемент этой строки (2);

Теперь вычёркиваем третью строку и первый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Согласно формуле, мы умножаем выбранный нами элемент на определитель получившейся матрицы;

Вычисление определителя матрицы 3х3, мы рассматривали в примере №2

3. Далее делаем всё тоже самое, что и в шаге два, только берём второй элемент данной строки (0) и вычёркиваем третью строку и второй столбец;

Так как этот элемент равен нулю, то ни чего не нужно считать и так всё ясно;

4. Теперь берём третий элемент строки (6) и вычёркиваем третью строку и третий столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (6)

=

5. Берём четвёртый элемент строки (-3) и вычёркиваем третью строку и четвёртый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (-3)

6. Чтобы вычислить определитель исходной матрицы, нужно сложить полученные результаты;

Ответ: -1926

Опишем решение примера вторым способом (по методу Гаусса - приведение матрицы к треугольному виду)

Суть способа заключается в том, чтобы перед вычислением определителя, привести матрицу к треугольному виду. Если в ходе приведения матрицы к треугольному виду вы умножаете (делите) строку на число, то на это же число нужно будет умножить (разделить) полученный в конце определитель;

Пример приведения матрицы к треугольному виду мы уже рассматривали

Итак, мы привили матрицу к треугольному виду;

Теперь чтобы вычислить определитель приведённой матрицы, нужно перемножить все элементы, стоящие на главной диагонали;

Ответ: -1926

Пример:

Перемножить матрицы:

- размером (2 х 3)

- размером (3 x 3)

Решение:

Так как число столбцов А(3) совпадает с числом строк В (3), следовательно, можно их перемножить.

Чтобы получить элемент С₁₁ произведения, умножим первую строку матрицы А на первый столбец матрицы В.

С₁₁ = 1·1 + 2·0 + 3·2 = 7,

С₁₂ получится умножением первой строки А на второй столбец В:

С₁₂ = 1·2 + 2·2 +3·2 = 12

С₁₃ – умножением первой строки А на третий столбец В:

С₁₃ = 1·3 + 2·0 + 3·1 = 6

С₂₁ –умножением второй строки А на первый столбец В:

С₂₁ = 0·1 = 1·0 +2·2 = 4

Далее, умножая вторую строку А на второй столбец В, получим С₂₂ =6, умножая вторую строку А на третий столбец В, получим С₂₃ =2

Больше у нас строк нет. Получилась матрица С, состоящая из двух строк и трех столбцов

Пример:

Найдем обратную матрицу к матрице A

Как видно из формулы А^-1, нам придется делить на определитель А, поэтому важно, а не окажется ли он равен нулю? Разложим А по первой строке, это нам удобно, т.к. там много нулей.

Определитель нулю не равен, значит обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу) то есть