Алгебраические свойства векторного произведения

Векторное умножение обладает следующими четырьмя свойствами:

1)[ x ]=-[ х ] (свойство антикоммутативности);

2) [()х ]= [ х ] (свойство ассоциативности относительно числового множителя);

3) [( + )х ] = [( x )]+[ x ] (свойство дистрибутивности относительно суммы векторов);

4) [( х )] = для любого вектора .

Если = { ; ; } и = { ; ; } – векторы, заданные своими координатами в пямоугольном базисе, то разложение векторного произведения [ x ] в том же базисе имеет вид:

[ x ] = - + , или х = .

Пример 1. Доказать, что ( - ) x ( + ) = 2 x , и выяснить геометрическое значение этого тождества.

Решение.

( - ) х ( + ) = х + ( х ) – ( х ) – ( х ). Так как х = , х = , х = -[ х ], то получаем

( - ) x ( + ) =2[ x ] и = 2 . Это с геометрической точки зрения означает: площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, вдвое больше площади данного параллелограмма.