Векторная алгебра. Пример. Построить вектор

Пример. Построить вектор .

Решение:

Пример. Найти длину вектора;Даны точки:

Решение:

Пример

Найти угол между векторами где

Решение:

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

Пример

Пусть = . Найти направляющие косинусы данного вектора, а также углы и .

Решение.

= , = , = = = 3;

= = , = = . Отсюда = , = .

Пример

Найти векторное произведение ; Даны точки:

Решение:

Векторное произведение векторов вычисляется по формуле: где ;

Пример

Найти скалярное произведение векторов;Даны точки:

Решение:

Вычисляем скалярное произведение векторов:

Пример

Найти смешанное произведение ; Даны точки:

Решение:

Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле: , где

Пример

Коллинеарны ли векторы и , разложенные по векторам и , где

Решение:

1. Вычислим проекции векторов :

2. Два вектора коллинеарны, если их проекции пропорциональны, следовательно, проверим пропорциональность проекций векторов:

не коллинеарны

Пример

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений Методом Крамера: .

Решение:

Решение системы находим по формулам Крамера:

.

Вычислим определитель системы

.

Последовательно заменив в , первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим соответственно

;

;

.

Ответ: .

Пример

Найти решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса (или методом исключения неизвестных):

.

Решение:

Выпишем расширенную матрицу данной системы и приведем ее к ступенчатому виду

.

Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

.

Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную на , затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на , четвертую – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим

.

Третью строку полученной матрицы умножим на , четвертую – на , затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим

.

Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,

.

Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, ; подставим в третье уравнение найденное , вычислим , ; затем из второго уравнения находим , ; из первого уравнения получим , .

Ответ: .

Пример

Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений (Использованиетеоремы Кронекера-Капелли):

.

Решение.

Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы к эквивалентной матрице , которой соответствует уравнение , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может быть записано в форме , или , . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы в нуль. В системе - число неизвестных и число уравнений. , матрица системы, расширенная матрица системы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра . Иногда общее решение удобнее использовать в форме

Ответ: .

5. При каких значениях система

имеет нетривиальные (ненулевые) решения? Найти эти решения.

Решение.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия и найдем соответствующие значения :

.

Найдем теперь соответствующие решения.

1) При система имеет вид:

.

Определитель этой системы равен нулю. Это означает наличие линейной зависимости между уравнениями системы. Замечаем, что первое уравнение получается из второго и поэтому его можно отбросить. Имеем

.

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и перенесем члены с в правые части уравнений:

.

Полученную систему можно решить по формулам Крамера:

где , , .

Тогда , . Полагая , где произвольное действительное число, получаем решение системы: , , .

2) При система имеет вид:

.

Можно решить эту систему и методом Гаусса. Составим расширенную матрицу полученной системы:

и приведем ее к матрице ступенчатого вида:

.

Восстановим систему для полученной матрицы

.

Полагая , где произвольное действительное число, получаем решение системы: .

Ответ: При система имеет нетривиальные решения: , , , . При система имеет нетривиальные решения: , .