Игра «реклама»

В этой игре существует единственная ситуация равновесия – обоим партнерам рекламировать свой товар. Однако существует более эффективный для обоих партнеров вариант, оптимальный по Парето, - не тратиться на рекламу. Но эта ситуация не является равновесной на классе исходных управлений. Однако эта ситуация принадлежит взаимовыгодному множеству, а значит ее можно сделать результатом проекции равновесных стратегий, включающих в себя договорные обязательства со штрафами за отклонение от них.

Пример. [1]

Пусть биматричная игра имеет вид:

М₁= M₂=

Исследуем множество равновесных ситуаций в этой игре.

Имеем для игрока 1:

M₁(x₁, x₂) = 0

M₁(x₁, x₂) = 3

Определим: х₂ = х₂^H - стратегия наказания первого игрока вторым, из условия M₁(х₁, х₂) = M₁(х₁, х₂^H) В данном случае имеем х₂^H= .

Далее для игрока 2 имеем: M₂(x₁, x₂) = 0

M₂(x₁, x₂) = 3

Определим х₁^H (х₂) - стратегию наказания второго игрока первым.

2, если х₁ = 1

х₁^H (х₂)= 1, если х₂ = 2

3 (2), если х₃ =3

Сначала найдем равновесные ситуации в исходной игре.

Для этого определим:

x₁^a(x₂) –абсолютно оптимальную стратегию первого игрока и

х₂ = x₂^a – оптимальный ответ второго.

Напомним, что:

x₁^a(x₂): M₁(x₁^a(x₂), x₂) = M₁(x₁, x₂)x₂^a:

M₂(x₁^a(x₂^а), x₂^a) = M₂(x₁^a(x₂^а), x₂).

Итак:

3, если x₂ = 1

x₁^a(x₂) = 2, если x₂ = 2

2, если x₂ = 3

Аналогично: 3, если x₁ = 1

x₂^a(x₁) = 2, если x₁ = 2

2, если x₁ = 3

Единственная ситуация равновесия в исходной игре определяется из условия

x₁^a(x₂^а) = x₂^a(x₁^a) (2,2).

В этой ситуации выигрыши игроков равны (4,4).

Замечание.

Прием построения абсолютно оптимальных стратегий и нахождения их пересечений для определения ситуаций равновесия носит общий характер.

Построим П-множество Парето на классе исходных управлений.

Напомним, что

(x₁^п, x₂^п) П

если не существует (x₁^', x₂^')єХ₁*Х₂, такой что:

M_i(x₁^', x₂^') ≥ M_i(x₁^п, x₂^п), i=1, 2 (дизъюнкция)

M_i(x₁^', x₂^') > M_i(x₁^п, x₂^п), i=1 либо i=2 (конъюнкция)

В пространстве выигрышей множество возможных решений имеет вид:

M₂

П

7

6 П

4 (4, 4) с.р.

2 П

0 2 3 4 6 7 M₁

рис.1

Как видно из рис.1:

П = {(1,1); (1,3); (3,1)},

С выигрышами игроков соответственно

МП = {(6,6); (2,7); (7,2)}.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что ни одна из этих точек не является ситуацией равновесия в исходной игре.

Покажем, что эти ситуации могут быть результатом проекции равновесных стратегий вида:

{ х₁(х₂), х₂[х₁(х₂)]}, {х₁[х₂(х₁)], х₂(х₁)}.

Покажем, что равновесные стратегии можно выбрать на классе стратегий {x₁(x₂), x₂ [x₁(x₂)]}.Действительно, пусть

x₁⁰ (x₂) = 1, х₂=1 ⁰ = х₂⁰ [х₁(х₂)] = 1, =

х₁^н (х₂), х₂ 1, х₂^н = 3,

Очевидно, эти стратегии проектируются в точку (х₁ = 1, х₂=1). В этой точке M₁ = 6, M₂ = 6.

Если от этих стратегий отклонится игрок 1, то есть , то он получит не больше, чем

M₁(π(, ⁰))= M₁(π (, 3) = M₁(2, 3) = 3 < 6.

Таким образом, игроку 1 не выгодно отклоняться от точки (, ⁰).

Если же при = , игрок 2 выберет , то его выигрыш оценивается величиной

M₂[π( ⁰, )].

Если т.ч. х₂ 1, при = , то

M₂[π( ⁰, )] = M₂(х₁^H(х₂), х₂) = 0 < 6

Итак, игроку 2 также не выгодно отклоняться от точки (, ⁰), то есть (, ⁰) – ситуация равновесия в игре .

Упражнение.

Точку (7,2) можно сделать ситуацией равновесия на классе

{x₁(x₂), x₂ [x₁(x₂)]}

Точку (2,7) можно сделать ситуацией равновесия на классе

{x₂(x₁), x₁ [x₂(x₁)]}.

Замечание.

Точку из множества Парето можно сделать равновесной, если выигрыши игроков в ней оцениваются величиной не меньшей, чем их максимально гарантированные результаты, соответствующие их информированности. Этому условию удовлетворяет точка (7,2) на классе стратегий {x₁(x₂), x₂ [x₁(x₂)]} и точка (2,7) на классе стратегий {x₂(x₁), x₁ [x₂(x₁)]}.

Примеры на стратегиях!!!