Ситуация равновесия по Нэшу в информационном расширении игры

Пусть задана игра:

Г = < , , , >

и ее информационное расширение:

Определение.

( ⁰, ⁰)- ситуация равновесия в информационном расширении игры, если M₁⁰ =M₁(π( ⁰, ⁰))= M₁(π(, ⁰))

M₂⁰= M₂(π( ⁰, ⁰))= M₂(π( ⁰, )

Заметим,что

( ⁰, ⁰) π (х₁⁰, х₂⁰) – равновесный исход, но не ситуация равновесия!

Таким образом, ситуация равновесия может реализоваться на стратегиях

( º, º) є

но ее проекция

(хº₁, хº₂) є

не обязательно равновесная по Нэшу.

Напомним, что стратегия ^а = х₁^а(х₂) называется абсолютно оптимальной стратегией, если справедливо равенство:

M₁(x₁^а(x₂), x₂)= M₁(x₁, x₂)

Определим x₂= х₂^а - оптимальный ответ второго игрока из условия:

M₂(x₁^а(x₂), x₂) = M₂(x₁^а(x₂^а), x₂^а)

Положительные свойства стратегий:

Свойство 1.

Ситуация равновесия всегда существует на классе стратегий

(, )=(x₁(x₂), x₂)

Доказательство: Достаточно выбрать абсолютно оптимальную стратегию ^а = хª₁(x₂), и оптимальный ответ на нее ^а = х₂^а

По определению:

M₁(x₁^а(x₂), x₂) = M₁(x₁, x₂),

M₂(x₁^а(x₂^а), x₂^а) = M₂(x₁^а(x₂), x₂).

Тогда, если = х₂^а, то

M₁(π(,x^2^а))= M₁(x₁(xª₂), xª₂) = M₁(x₁^а(x₂^а), x₂^а).

Если = ^а (), то M₂(x₁^а(x₂), x₂)= M₂(x₁^а(x₂^а), x₂^а), что соответствует определению ситуации равновесия в информационном расширении игры.

Свойство 2.

Если , то и – увеличение информации приводит к возможности увеличения выигрыша.т

Доказательство:

Первый игрок может не использовать дополнительную информацию и получить . А если повезёт (дополнительная информация оказалась полезной), то получит строго больше.

Свойство 3.

Пусть игрок 1 знает х_2.

Определим взаимовыгодное множество для этого случая:

₁₂={(х₁, х₂) M₁(х₁, х₂) ≥ M₁(х₁, х₂);

M₂(х₁, х₂) ≥ M₂(х₁, х₂)}.

Любая точка из этого множества может быть сделана ситуацией равновесия на классе стратегий

{х₁(х₂), х₂[х₁(х₂)]}

Аналогичное утверждение верно и в симметричном случае, когда игрок 2 знает х_1.

Здесь взаимовыгодное множество имеет вид:

₂₁={(х₁, х₂) M₁(х₁, х₂) ≥ M₁(х₁, х₂);

M₂(х₁, х₂) ≥ M₂(х₁, х₂)}.

А класс использованных стратегий имеет вид:

{ х₁ [х₂(х₁)], х₂ (х₁)}.

ТРИ игры

Проведем анализ рассмотренных ранее игр,но уже на классе стратегий.