Управление ИСУ при неточном знании параметров подсистем

Как уже было отмечено для решения вопроса о целесообразности построения иерархической системы управления(ИСУ) необходимо сравнить максимальный гарантированный результат(МГР) центра при централизованном и (частично) децентрализованном способах управления. При этом учитывается влияние неопределённых факторов. Для этого будем считать, что выигрыш центра определяется функцией ,где –управляющие параметры центра; удовлетворяющие ограничениям ,i=1,2, а α-неопределённый параметр, про который центру известно только, что α∊А.

Тогда, следуя принципу МГР, центр оценивает свой выигрыш величиной

При децентрализованном способе управления центр передаёт нижнему уровню право выбора параметра .Пусть обмен информацией (в том числе и о величине α) между уровнями приводит к усложнению класса стратегий ,i=1,2.

Основываясь на предположении о рациональном поведении элементов нижнего уровня центр может построить множество откликов на свою стратегию. В этом случае принцип МГР позволяет оценить выигрыш центра величиной:

В случае полной информированности А= всегда имеет место неравенство .

Однако в более реальном случае наличия неопределённости возможны любые из трёх соотношений: , , .

Выполнение какого-либо одного из них определяется,во-первых, самой моделируемой ситуацией (функцией , множествами и, во-вторых, тем насколько удачен выбор процедур обмена информацией (множествами ).

В отличие от традиционных постановок задач принятия решений в условиях неопределённости будем изучать вопросы выбора рациональных решений в условиях наличия неопределённости, которую назовём субъективной.

Субъективная неопределённость характеризуется тем, что во-первых подсистемы имеют различную информированность о неопределённых факторах: о параметрах системы и её элементов, о влиянии на систему внешней среды, и во-вторых учитывается возможность и целесообразность обмена информацией о действиях элементов(т.е. о выборе ими управлений),о параметрах, описывающих влияние внешней среды.

Обмен информацией производится только в своих интересах, следовательно, не исключается

Далее предполагается, что игрок 2 может сообщить игроку 1 любое значение .Если он не сообщает такой информации, то игрок 1 формально, по своему усмотрению присваивает этой величине какое-то значение из множества А.

Итак, будем считать что = , = ,то есть игрок 1 до выбора будет знать точную информацию о и какую-то информацию о .

Итак, рассмотрим игру , где как и ранее проекция:

𝜋: ,

Введём некоторые обозначения

,α)≥

Стратегия наказания:

( , α)=

Далее будем считать, что выполняются следующие условия:

Знание игроком 1 множества А не противоречит объективному описанию модели, т.е. истинное значение неопределённого параметра принадлежит этому множеству

Подчинённый (игрок 2) доброжелателен к начальнику - центру (игроку 1).Это условие как и ранее можно заменить условиями, справедливыми при всех α∊А

-множества

-замыкание –множество = .

Стратегия наказания не зависит от параметра α

.

Построим стратегию

(

В этой стратегии наказание реализуется, если игрок 2 не сообщил информацию о неопределённом параметре, т.е. или сообщив информацию 𝜏∊А выбрал ≠ (𝜏).

Замечание 2.Независимость стратегии наказания от неопределённого параметра не является жёстким ограничением для экономических моделей. Наказание-это выбор минимального значения цены и поощрения, либо максимального штрафа и т.д.

Замечание 3.Как и ранее предполагаем, что максимумы и минимумы в соответствующих выражениях достигаются.

Теорема. В сформулированных условиях МГР игрока 1 равен и достигается путём выбора игроком 1 оптимальной стратегии

Доказательство. Игрок 2 может выбрать лучшую для себя пару , т.е. его выигрыш оценивается величиной

Если же игрок 2 ослушается начальника-игрока 1,то при любом

В силу доброжелательности или как часто бывает в силу неравенства

Игрок 2 с гарантией для игрока 1 выберет наилучшую для себя пару что в свою очередь гарантирует игроку 1 выигрыш

Итак, результат гарантируется игроку 1. На больший результат он рассчитывать не может, так как при известном может получить не больше и рассчитывая на худшее для себя он не может ожидать выйгрыша более чем

Теорема доказана.

Экономные процедуры обмена информацией.

Пусть , где размерность вектора . Если велико, то передача и анализ информации о вызывает большие технические трудности и экономические затраты.

Поэтому целесообразно исследовать вопрос об эффективности принятия решений по агрегированной информации, например, вида , где y – агрегированная информация о выборе игрока 2,

- линейный невырожденный оператор:

, ,

Например:

Здесь ,

Обозначим

образ множества в пространстве .

Таким образом стратегия игрока 2 по прежнему определяется выбором , то есть

Множество стратегий игрока 1 состоит из выбора целого числа , ;

Выбора оператора и выбора функции .

Кроме того, зададим монотонно неубывающую функцию, например, вида , которая имеет смысл платы за пользование каналами связи, где

c – стоимость инфраструктуры, обеспечивающей передачу информации,

d – оплата одного канала связи,

- число каналов связи(по размерности вектора ).

Целью игрока 1 является максимизация значения функции

Поясним постановку и решение задачи на примере.

Пример:

Пусть функции выигрыша игроков линейны по их управлениям:

,

,

Где уравнения игрока 1:

, ,

А игрока 2:

, .

Наложим на параметры задачи ограничения:

,

Последнее ограничение обеспечивает выигрыш игроку (в оптимальной точке), превышающий величину

В нашей линейной модели

А стратегия наказания имеет вид:

Обозначим оптимальный выигрыш игрока 1 при соответственно .

При получаем игру , решение которой имеет вид

Оптимальный (рациональный) выбор игрока 2 определяется равенствами

При имеет игру , в которой оптимальная стратегия игрока 1 имеет вид

=

Оптимальный выигрыш игрока 1 равен

А выигрыш игрока 2

Превышает величину в силу наложенного условия

Наконец, при и выборе оператора

Игрок 1 обеспечивает себе выигрыш

Выбором оптимальной стратегии

=

При этом игрок 2 опять получит строго больше своего МГР.

Заметим, что всегда

Более того в линейной модели при любой размерности вектора игроку 1 достаточно иметь всего лишь один канал связи и ничего не потерять в выигрыше!

Определим условия на параметры модели, при которых

Используя выражения для оптимального выигрыша игрока 1 во всех этих случаях, имеем:

Из первого неравенства получим:

А из второго

Окончательно имеем:

Задача. Подобрать численные значения параметров модели, при которых: