2015-04-01
285
Как уже было отмечено для решения вопроса о целесообразности построения иерархической системы управления(ИСУ) необходимо сравнить максимальный гарантированный результат(МГР) центра при централизованном и (частично) децентрализованном способах управления. При этом учитывается влияние неопределённых факторов. Для этого будем считать, что выигрыш центра определяется функцией 
,где 
–управляющие параметры центра; удовлетворяющие ограничениям 
,i=1,2, а α-неопределённый параметр, про который центру известно только, что α∊А.
Тогда, следуя принципу МГР, центр оценивает свой выигрыш величиной
При децентрализованном способе управления центр передаёт нижнему уровню право выбора параметра 
.Пусть обмен информацией (в том числе и о величине α) между уровнями приводит к усложнению класса стратегий 
,i=1,2.
Основываясь на предположении о рациональном поведении элементов нижнего уровня центр может построить множество 
откликов на свою стратегию. В этом случае принцип МГР позволяет оценить выигрыш центра величиной:
В случае полной информированности А= 
всегда имеет место неравенство 
.
Однако в более реальном случае наличия неопределённости возможны любые из трёх соотношений: 
, 
, 
.
Выполнение какого-либо одного из них определяется,во-первых, самой моделируемой ситуацией (функцией 
, множествами 
и, во-вторых, тем насколько удачен выбор процедур обмена информацией (множествами 
).
В отличие от традиционных постановок задач принятия решений в условиях неопределённости будем изучать вопросы выбора рациональных решений в условиях наличия неопределённости, которую назовём субъективной.
Субъективная неопределённость характеризуется тем, что во-первых подсистемы имеют различную информированность о неопределённых факторах: о параметрах системы и её элементов, о влиянии на систему внешней среды, и во-вторых учитывается возможность и целесообразность обмена информацией о действиях элементов(т.е. о выборе ими управлений),о параметрах, описывающих влияние внешней среды.
Обмен информацией производится только в своих интересах, следовательно, не исключается
Далее предполагается, что игрок 2 может сообщить игроку 1 любое значение 
.Если он не сообщает такой информации, то игрок 1 формально, по своему усмотрению присваивает этой величине какое-то значение 
из множества А.
Итак, будем считать что 
= 
, 
= 
,то есть игрок 1 до выбора 
будет знать точную информацию о 
и какую-то информацию о 
.
Итак, рассмотрим игру 
, где как и ранее проекция:
𝜋: 
,
Введём некоторые обозначения
,α)≥ 
Стратегия наказания:
( 
, α)= 
Далее будем считать, что выполняются следующие условия:
Знание игроком 1 множества А не противоречит объективному описанию модели, т.е. истинное значение 
неопределённого параметра принадлежит этому множеству 
Подчинённый (игрок 2) доброжелателен к начальнику - центру (игроку 1).Это условие как и ранее можно заменить условиями, справедливыми при всех α∊А
-множества
-замыкание 
–множество 
= .
Стратегия наказания не зависит от параметра α
.
Построим стратегию
(
В этой стратегии наказание реализуется, если игрок 2 не сообщил информацию о неопределённом параметре, т.е. 
или сообщив информацию 𝜏∊А выбрал 
≠ 
(𝜏).
Замечание 2.Независимость стратегии наказания от неопределённого параметра не является жёстким ограничением для экономических моделей. Наказание-это выбор минимального значения цены и поощрения, либо максимального штрафа и т.д.
Замечание 3.Как и ранее предполагаем, что максимумы и минимумы в соответствующих выражениях достигаются.
Теорема. В сформулированных условиях 
МГР игрока 1 равен 
и достигается путём выбора игроком 1 оптимальной стратегии 
Доказательство. Игрок 2 может выбрать лучшую для себя пару 
, т.е. его выигрыш оценивается величиной 
Если же игрок 2 ослушается начальника-игрока 1,то при любом
В силу доброжелательности или как часто бывает в силу неравенства
Игрок 2 с гарантией для игрока 1 выберет наилучшую для себя пару 
что в свою очередь гарантирует игроку 1 выигрыш
Итак, результат 
гарантируется игроку 1. На больший результат он рассчитывать не может, так как при известном 
может получить не больше 
и рассчитывая на худшее для себя он не может ожидать выйгрыша более чем
Теорема доказана.
Экономные процедуры обмена информацией.
Пусть 
, где 
размерность вектора . Если 
велико, то передача и анализ информации о вызывает большие технические трудности и экономические затраты.
Поэтому целесообразно исследовать вопрос об эффективности принятия решений по агрегированной информации, например, вида 
, где y – агрегированная информация о выборе игрока 2,
- линейный невырожденный оператор:
, 
,
Например:
Здесь 
, 
Обозначим
образ множества 
в пространстве 
.
Таким образом стратегия игрока 2 по прежнему определяется выбором , то есть 
Множество стратегий игрока 1 состоит из выбора целого числа 
, 
;
Выбора оператора и выбора функции 
.
Кроме того, зададим монотонно неубывающую функцию, например, вида 
, которая имеет смысл платы за пользование каналами связи, где
c – стоимость инфраструктуры, обеспечивающей передачу информации,
d – оплата одного канала связи,
- число каналов связи(по размерности вектора 
).
Целью игрока 1 является максимизация значения функции 
Поясним постановку и решение задачи на примере.
Пример:
Пусть функции выигрыша игроков линейны по их управлениям:
,
,
Где уравнения игрока 1:
, 
,
А игрока 2:
, 
.
Наложим на параметры задачи ограничения:
,
Последнее ограничение обеспечивает выигрыш игроку (в оптимальной точке), превышающий величину
В нашей линейной модели
А стратегия наказания имеет вид:
Обозначим оптимальный выигрыш игрока 1 при 
соответственно 
.
При 
получаем игру 
, решение которой имеет вид
Оптимальный (рациональный) выбор игрока 2 определяется равенствами
При 
имеет игру 
, в которой оптимальная стратегия игрока 1 имеет вид
= 
Оптимальный выигрыш игрока 1 равен
А выигрыш игрока 2
Превышает величину 
в силу наложенного условия
Наконец, при 
и выборе оператора 
Игрок 1 обеспечивает себе выигрыш
Выбором оптимальной стратегии
= 
При этом игрок 2 опять получит строго больше своего МГР.
Заметим, что всегда
Более того в линейной модели при любой размерности вектора игроку 1 достаточно иметь всего лишь один канал связи и ничего не потерять в выигрыше!
Определим условия на параметры модели, при которых
Используя выражения для оптимального выигрыша игрока 1 во всех этих случаях, имеем:
Из первого неравенства получим:
А из второго
Окончательно имеем:
Задача. Подобрать численные значения параметров модели, при которых:
