Параллельный перенос и растяжение графиков

Если известен график функции y = f (x), то с его помощью легко получить график функции вида y = kf (ax + b) + l. Опишем это построение по этапам. Из графика функции f (x):
1) график функции f (ax), a > 0, получается сжатием графика f (x) вдоль оси x в a раз ("сжатие" с коэффициентом a, 0 < a < 1, является растяжением в 1/ a раз);
2) график функции f (-x) - преобразованием симметрии относительно оси y;
3) график функции f (x + b) - переносом параллельно оси x на отрезок длины | b | влево, если b > 0, и вправо, если b < 0;
4) график функции kf (x), k > 0, - растяжением вдоль оси y в k раз ("растяжение" с коэффициентом k, 0 < k < 1, является сжатием в 1/ k раз);
5) график функции - f (x) - преобразованием симметрии относительно оси x;
6) график функции f (x) + l - переносом параллельно оси y на отрезок длины | l | вверх, если l > 0, и вниз, если l < 0. Применив эти операции, из графика функции f (x) можно получить график функции

kf (ax + b) + l + l, a 0.

Для этого согласно указанному выше надо последовательно построить графики функций

f (ax), = f (ax + b), kf (ax + b), kf (ax + b) + l

(на рис. 42 схематически изображено построение графика функции kf (ax + b) + l в случае, когда a > 0, b > 0, k > 0, l > 0).

Рис. 42

Рис. 43

Вместо последовательного построения этих графиков можно сделать преобразование координат: соответствующий параллельный перенос, изменение масштабов, а если надо, и ориентации координатных осей. Именно, график самой функции f (x) станет графиком функции kf (ax + b) + l, a 0, k 0, если перенести начало координат в точку (b, - l/k), увеличив масштаб по оси x в | a | раз, уменьшить его по оси y в | k | раз и при a < 0, соответственно при k < 0, изменить ориентацию оси x соответственно оси y (рис. 43).

Показательная функция, ее свойства и график

Цель изучения параграфа — введение понятия показательной функции; демонстрация применения знаний о свойствах показательной функции к решению прикладных задач.

Для обоснования свойств показательной функции необходимо знание материала IV главы учебника о свойствах степени. Поэтому повторение этих свойств, компактно сформулированных в начале параграфа, можно провести в ходе устного выполнения следующих упражнений:

1. Представьте в виде степени числа a > 0:

1) a 3 a −5 a 1 2; 2) a 3 2: a 2; 3) a 1 3 ⋅a a 2 3; 4) (a 3) 3; 5) (a 6) 1 3 ⋅ a −2.

2. Найти значение выражения: 1) (2π) 7 2 8 π 7; 2) (2 3) 6 ⋅ 2 −4 ⋅ 3 5.

3. Сравнить с единицей: 1) 1,3 3; 2) 0,7−5.

4. Сравнить: 1) 0,97 и 0,96; 2) π 1 2 и π 1 3.

Полезно повторить с учащимися выявление свойств функции по ее графику. С этой целью можно, например, используя график функции на рисунке 13, найти:

1) значения аргумента, при которых значение функции равно нулю;

2) координаты точки пересечения графика с осью ординат;

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные (отрицательные) значения;

4) промежутки возрастания (убывания) функции.

Введение понятия показательной функции, обоснование ее свойств, построение графиков и исследование поведения графиков, их особые точки рассматриваются в последовательности, предложенной учебником. После этого решается задача 1.

Разбор решения этой задачи позволит учащимся выполнить упражнения 6 и 7 без построения графиков функции.

Задачу 2 желательно рассмотреть и с учащимися общеобразовательных классов. Они могут не производить вычисления на микрокалькуляторах, а принять на веру расчеты, предложенные в учебнике.

Задачу 3, носящую исследовательско-прикладной характер, рекомендуется внимательно рассмотреть с учащимися профильных классов. Они должны использовать микрокалькуляторы для выполнения расчетов при решении задачи 2, а также при выполнении упражнений 17—20.

При желании учитель в профильных классах может давать учащимся задание по написанию программы вычислений значений выражений на микрокалькуляторе. Так, например, для решения задачи 2 вычисления на инженерном микрокалькуляторе МК-51 можно провести по следующей программе:

365 ÷  14 =   х→Π  0,5  y x   Π→х  =  ×  8 =